Triangeln (trigon[1]) är en tresidig polygon och en av de grundläggande geometriska formerna. En triangel begränsas av tre räta linjer vars skärningpunkter bildar triangelns hörn.
Triangelns hörn betecknas vanligen med A, B, C och motsvarande vinklar med . Triangeln kan refereras till som triangeln ABC eller betecknas .
Sidan a säges vara motstående sida till hörnet A och vinkeln . Hörnet A sägs vara motstående hörn till sidan a.
Semiperimetern är triangelns halva omkrets eller
Artikeln behandlar trianglar i planet; trianglar på sfäriska och hyperboliska ytor har särskilda artiklar.
Typer av trianglarRedigera
En triangel är
- Spetsvinklig om alla vinklar är mindre än 90 grader
- Rätvinklig om en vinkel är rät (90 grader eller radianer)
- Trubbvinklig om en av vinklarna är större än 90 grader
VinklarRedigera
Supplementvinkeln till en vinkel i en triangel kallas yttre vinkel.
VinkelsummaRedigera
En linje som dras genom ett av triangelns hörn och är parallell med motstående sida, visar att triangelns vinkelsumma är 180 grader.
HöjderRedigera
En triangels höjder är normaler dragna från en sida, eller en sidas förlängning, till motstående hörn. Höjderna skär varandra i en punkt.
Höjden mot sidan a har längden
där s är semiperimetern (triangelns halva omkrets). Övriga längder beräknas på motsvarande sätt.
BisektriserRedigera
En bisektris delar en av triangelns vinklar i två lika delar.
Bisektrisen till en yttre vinkel kallas yttre bisektris.
Bisektriserna skär varandra i en punkt som också är den inskrivna cirkelns centrum.
Bisektrisens längdRedigera
Längden av bisektrisen från hörnet A är
BisektrissatsenRedigera
En bisektris delar motstående sida i samma proportioner som längderna av de sidor som bildar den delade vinkeln:
- (1)
Drag sidan CD med längden AC parallell med sidan AB. Då är trianglarna CDE och ABE likformiga och sambandet (1) följer.
MedianerRedigera
Medianen är en linje från ett av triangelns hörn till motstående sidas mittpunkt. Medianerna skär varandra i triangelns geometriska tyngdpunkt.
Medianernas längder är
AreaRedigera
Triangelns area är en höjd multiplicerad med motsvarande sida dividerat med 2 eller
Arean kan också beräknas med herons formel som
där s är semiperimetern (triangelns halva omkrets).
Arean kan även beräknas med den trigonometriska sinusfunktionen enligt areasatsen
Med integralRedigera
Arean av en triangel kan beräknas med integralen
Med vektorerRedigera
Arean av en parallellogram i ett tredimensionellt euklidiskt rum kan beräknas med hjälp av vektorer. Låt vektorerna AB och AC svara mot sträckan från A till B respektive A till C. Arean av parallellogrammen ABCD är
vilket är magnituden av kryssprodukten av vektorerna AB och AC. Arean av triangeln ABC är hälften av denna
Triangelns area kan med hjälp av skalärprodukt skrivas som
I en tvådimensionell euklidisk rymd kan vektorn AB skrivas som (x1,y1) och AC som (x2,y2), vilket ger arean som
Samband mellan sidor och vinklarRedigera
CosinussatsenRedigera
Om till exempel vinkeln är rät och då erhålls Pytagoras sats
SinussatsenRedigera
TangenssatsenRedigera
CirklarRedigera
Omskrivna cirkelnRedigera
Den omskrivna cirkelns centrum ligger i skärningspunkten av sidornas mittpunktsnormaler och
dess radie är
Inskrivna cirkelnRedigera
Den inskrivna cirkelns mittpunkt är bisektrisernas skärningspunkt och dess radie är
där s är semiperimetern.
Vidskrivna cirkelnRedigera
Bisektrisen från A och bisektrisen från B's yttre vinkel skär varandra i den vidskrivna cirkelns mittpunkt. Den vidskrivna cirkelns radie om cirkeln tangerar sidan a är
där T är triangelns area och s semiperimetern.
KongruensfallRedigera
Två trianglar är kongruenta om de kan fås att sammanfalla genom rotation, translation och spegling.
Första kongruensfallet (SVS, sida-vinkel-sida)Redigera
- Om för
∆
ABC och∆
A'B'C' gäller att AB = A'B', AC = A'C' och∠
A =∠
A', så är∆
ABC kongruent med∆
A'B'C'.
Andra kongruensfallet (SSS, sida-sida-sida)Redigera
- Om för
∆
ABC och∆
A'B'C' gäller att AB = A'B', AC = A'C' och BC = B'C', så är∆
ABC kongruent med∆
A'B'C'.
Tredje kongruensfallet (VSV, vinkel-sida-vinkel)Redigera
- Om för
∆
ABC och∆
A'B'C' gäller att AB = A'B',∠
A =∠
A' och∠
B =∠
B', så är∆
ABC kongruent med∆
A'B'C'.
LikformighetRedigera
Om det för två trianglar med sidorna
respektive , existerar ett tal , en skalfaktor, sådant att
sägs trianglarna vara likformiga.
Likformighet betecknas
Första likformighetsfallet (SVS, Sida-Vinkel-Sida)Redigera
Om för två trianglar ABC och A'B'C'
och
är trianglarna likformiga.
Andra likformighetsfallet (SSS, Sida-Sida-Sida)Redigera
Om för två trianglar ABC och A'B'C'
är trianglarna likformiga.
Tredje likformighetsfallet (VVV, Vinkel-Vinkel-Vinkel)Redigera
Om för två trianglar ABC och A'B'C'
är trianglarna likformiga.
Triangelns tyngdpunktRedigera
En triangelformad ytas masscentrum (tyngdpunkt) ligger på en tredjedel av höjden räknat från basen.
Medianernas skärningspunkt sammanfaller med masscentrum.
Tyngdpunktens avstånd till en sida kan beräknas med en integral. Vi kan anta att ytdensiteten (massa per areaenhet) är = 1. Arean utövar då momentet med avseende på origo, vilket för hela triangeln ger
där A är triangelns area. Det moment triangeln utövar kan anses angripa i tyngdpunkten vilket ger
Med lodlinaRedigera
Det går att finna ett tunt och plant föremåls tyngdpunkt med hjälp av en lodlina. Lodlina och (i detta fall) triangel hängs fritt från en fästpunkt och lodlinjen markeras. Detta upprepas för en andra fästpunkt. Lodlinjernas skärningspunkt är tyngdpunktens läge.
Se ävenRedigera
KällorRedigera
Externa länkarRedigera
- Slå upp Triangel i ordlistan Wiktionary.
- Wikimedia Commons har media som rör Triangel.