Herons formel

Herons formel anger sambandet mellan en godtycklig triangels area och dess sidor a, b, c samt semiperimetern (halva omkretsen) s enligt

$\ Area={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$

där alltså

$\ s={\frac {1}{2}}\left(a+b+c\right)$

Formelns namn kommer från den grekiske matematikern Heron, men formeln upptäcktes troligen inte av honom, utan av Arkimedes.

Herons formel för trianglar är ett specialfall av en mer generell identitet för cykliska fyrhörningar. Genom att nyttja Herons formel och den aritmetiska-geometriska olikheten kan man bevisa den isoperimetriska egenskapen för liksidiga trianglar.

Bevis

Låt $a,b,c$ vara sidorna i en triangel och låt $\gamma$ vara motstående vinkel till sidan $c$. Enligt cosinussatsen gäller

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

Detta ger (via trigonometriska ettan):

$\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\sqrt {{\frac {4a^{2}b^{2}}{4a^{2}b^{2}}}-{\frac {(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}b^{2}}}}}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}$

Triangelns höjd mot basen $a$ har längden $b\sin(\gamma )$ varav följer (med hjälp av konjugatregeln och kvadreringsreglerna):

${\begin{aligned}Area&={\frac {1}{2}}({\mbox{basen}})({\mbox{höjden}})\\&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&\quad {\scriptstyle {\text{använd konjugatregeln:}}\ x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)\ {\text{, med}}\ 2ab=x}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&\quad {\scriptstyle 2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})=c^{2}-(a^{2}+b^{2}-2ab)\ {\text{och}}\ 2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2})=(a^{2}+b^{2}+2ab)-c^{2}}\\&\quad {\scriptstyle {\text{använd sedan kvadreringsreglerna:}}\ x^{2}+y^{2}-2xy=(x-y)^{2}\ {\text{och}}\ x^{2}+y^{2}+2xy=(x+y)^{2}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})\cdot ((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&\quad {\scriptstyle {\text{använd konjugatregeln (två gånger!):}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c-(a-b))(c+(a-b))\cdot ((a+b)-c)((a+b)+c)}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(c-(a-b))}{2}}{\frac {(c+(a-b))}{2}}{\frac {((a+b)-c)}{2}}{\frac {((a+b)+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&\quad {\scriptstyle b+c-a=a+b+c-2a=2s-2a\ {\text{etcetera ger:}}}\\&={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.\end{aligned}}$

Se även

• Areasatsen
• Cosinussatsen
• Sinussatsen
• Tangenssatsen