En sfärisk triangel är en triangel på ytan av en sfär. Triangeln begränsas av storcirkelbågar. Vinkelsumman ligger mellan 180 grader för en liten triangel och 540 för en triangel som upptar nästan en hel halvsfärs yta, under förutsättning att ingen vinkel får vara större än 180 grader (eulersk triangel). Om detta villkor inte gäller är den övre gränsen för vinkelsumman 900 grader.

En sfärisk triangel ABC begränsad av tre storcirklar och där de inre vinklarna anges i blått
Vinkelsumman växer med triangelns storlek

Area och sfäriskt överskottRedigera

Arean av den sfäriska triangeln kan beräknas med hjälp av de inre vinklarna (i radianer) och sfärens radie enligt Girards sats:

 

Jämfört med det plangeometriska fallet, sägs den sfäriska triangeln ha ett vinkelöverskott eller sfäriskt överskott, det vill säga summan av de inre vinklarna   är större än 180 grader, eller, med alla vinklar givna i radianer, är överskottet

 

För en allmän sfärisk triangel gäller

 

och för en eulersk triangel

 

Genom att tillämpa sfärisk trigonometri kan vinkelöverskottet E beräknas med hjälp av triangelns sidolängder a, b och c enligt L'Huiliers sats:[1][2]

 

där s = (a + b + c)/2 är triangelns semiperimeter (halva omkrets). Genom sambandet med Girards sats kan sedan triangelns area beräknas.

Beräkning av sidor och hörnvinklarRedigera

 
Figur 3: De eulerska trianglarna   och   har vinkeln   och sidorna   och   lika. Eftersom   är likbent, är   och således  . Denna typ av obestämdhet förekommer även hos plana trianglar.
 
Figur 4: De eulerska trianglarna   och   har sidan   och vinklarna   och   lika. Vinklarna   är lika eftersom båda storcirklarna till   respektive   tangerar den orange parallellcirkeln med radien   till storcirkeln  , på varsin sida om och lika långt från meridianen genom  . Sålunda är   och  . Denna typ av obestämdhet förekommer inte hos plana trianglar, eftersom vinkelsumman i sådana alltid är  : eftersom   och   är givna, är även vinkeln i   ( ) given.

Om man känner alla tre sidlängderna, två sidlängder och en hörnvinkel, en sidlängd och två hörnvinklar eller, till skillnad från plana trianglar, alla tre hörnvinklarna, kan man beräkna de övriga med hjälp av formler från den sfäriska trigonometrin. (Observera att sfärisk trigonometri arbetar med en enhetssfär och uttrycker sidlängder i vinkelmått.)

Tre sidor kända: Beräkna vinklarna med hjälp av sfäriska cosinussatsen eller de sfäriska formlerna för halva vinkeln.
Två sidor och en vinkel kända: Använd de sfäriska cotangensformlerna om vinkeln är mellanliggande[3], annars först sfäriska sinussatsen för att få den andra motstående vinkeln (observera att det i detta fall ofta finns två lösningar, även för en eulersk triangel - se figur 3) och därefter Napiers analogier.
Två vinklar och en sida kända: Använd de sfäriska cotangensformlerna om sidan är mellanliggande[4], annars först sfäriska sinussatsen för att få den andra motstående sidan (observera att det i detta fall ofta finns två lösningar, även för en eulersk triangel - se figur 4) och därefter Napiers analogier.
Tre vinklar kända: Beräkna sidorna med hjälp av duala cosinussatsen eller de sfäriska formlerna för halva sidan.

Om en hörnvinkel är rät eller om en sida har längden π/2 finns det enklare metoder enligt nedan. Formlerna för den rätvinkliga triangeln kan även användas för andra trianglar (man måste dock känna antingen två sidor och ett hörn, eller två hörn och en sida), om man delar denna i två rätvinkliga trianglar[5] - det blir två sidor och en vinkel till att räkna ut, men beräkningarna blir å andra sidan enklare. Speciellt effektiv är metoden om två sidor eller två hörnvinklar är lika, eftersom man då har en likbent triangel som kan delas i två kongruenta rätvinkliga trianglar.

Rätvinkliga sfäriska trianglarRedigera

I det fall en hörnvinkel i en sfärisk triangel är rät fås många enkla samband ur den sfäriska trigonometrins formler genom att cosinus och cotangens för en rät vinkel är noll, och sålunda försvinner många termer som innehåller cosinus eller cotangens för denna vinkel ur dessa formler (och i fallet med sinussatsen försvinner en faktor eftersom sinus är lika med ett för vinkeln). Nedan ges en uppsättning på tio enkla formler (under en rubrik som anger varifrån de härletts[6]) som gäller för den sfäriska triangeln  , med sidlängderna  ,   och  , med de motstående hörnvinklarna  ,   respektive den rätvinkliga  .[7]

Sfäriska sinussatsen:
 
Sfäriska cotangensformlerna:
 
Duala cosinussatsen:
 
Sfäriska cosinussatsen:
 

Napiers minnesregelRedigera

 
Figur 5: Napiers minnesregel för rätvinkliga sfäriska trianglar. A=α och B=β.

Om man ritar en figur med fem "tårtbitar" som den längst till höger i figur 5 och anger sidor och vinklar, med undantag för den räta vinkeln, i den ordning de kommer i triangeln, men i stället för de båda icke räta vinklarna och den sida som är hypotenusa anger komplementvinkeln, lyder Napiers minnesregel:[8] Välj en av de fem, sinus för denna är produkten av tangens för de båda intilliggande och produkten av cosinus för de båda övriga.[9]

Exempel: Vi väljer sidan b. Minnesregeln säger då

 

som återfinns som den tredje formeln från sfäriska cotangensformlerna ovan. Minnesregeln säger också

 

som vi återfinner som den andra formeln från sfäriska sinussatsen.

Trianglar med en sida med längden π/2Redigera

Eftersom den polära triangeln har sidor som är supplementvinklar till triangelns hörn, innebär det att den polära triangeln till en rätvinklig triangel har en sida med längden  , det vill säga att sidan är en storcirkelkvadrant. Vi kan således använda den polära dualitetssatsen på ovanstående formler för den rätvinkliga triangeln och få att för den sfäriska triangeln  , med hörnvinklarna  ,   och   och de motstående sidlängderna  ,   respektive storcirkelkvadranten   gäller:[10]

 
 
 
 

Man kan konstruera en liknande minnesregel som för de rätvinkliga trianglarna, men enklare är att bara byta vinklar mot motstående sidor och vice versa, samt ändra tecken om cosinus förekommer en gång (ty  ; även tangens och cotangens byter ju tecken för supplementvinkeln, men dessa förekommer endast parvis i formlerna).

Geometriska egenskaperRedigera

Den inskrivna cirkelnRedigera

 
Figur 6: Den sfäriska triangeln  , har den inskrivna cirkeln, med medelpunkt i P, bisektrisernas gemensamma skärningspunkt.

Liksom för en plan triangel skär hörnvinklarnas bisektriser varandra i en gemensam punkt, den inskrivna cirkelns medelpunkt.

Bevis
Betrakta den sfäriska triangeln   i figur 6 till höger. Punkten   ligger på bisektrisen (blå) till vinkeln i hörnet   medan   är "fotpunkt"[11] till    och   är "fotpunkt" till   . Eftersom de båda trianglarna   och   delar sträckan   som sida (hypotenusa), båda har samma vinkel i   och deras vinklar i   respektive   båda är lika (räta) är trianglarna kongruenta.   ligger även på bisektrisen till vinkeln i  , så samma sak gäller trianglarna   och  , vilket ger att  . Den cirkel som har medelpunkt i   och radien   är sålunda den inskrivna cirkeln till   ty dess omkrets tangerar triangelns sidor i punkterna  ,   och   (vinkeln mellan sidan och radien till respektive sida är ju rät i respektive punkt). Att   även ligger på bisektrisen till vinkeln i   framgår på samma sätt ur att trianglarna   och   är kongruenta och således skär alla tre bisektriserna varandra i samma punkt.

Den inskrivna cirkelns medelpunkt är även medelpunkt till den polära triangelns omskrivna cirkel. För bevis se artikeln Polär triangel.

Längden   av radien i den inskrivna cirkeln till triangeln   (på en enhetssfär) med sidlängderna  ,   och  , och hörnvinklarna  ,   respektive   i de till dessa sidor motstående hörnen fås genom:

 

där  .

Härledning
I triangeln i figur 6 har vi  ,   och  , vilket ger oss:
 
 
Eftersom vinkeln i   är rät kan vi utnyttja   (se ovan under avsnittet Rätvinkliga sfäriska trianglar, tredje formeln från de sfäriska cotangensformlerna - med bytta beteckningar[12]) för triangeln  , vilket, med beteckningarna för triangeln i figur 6 ger:
 
Enligt den sfäriska formeln för tangens för halva vinkeln är  , vilket ger:
 

Den omskrivna cirkelnRedigera

 
Figur 7: Den sfäriska triangeln  , har den omskrivna cirkeln, med medelpunkt i P, mittpunktsnormalernas gemensamma skärningspunkt.

Liksom i fallet med en plan triangel skär mittpunktsnormalerna till en sfärisk triangels sidor varandra i en gemensam punkt. Denna punkt är medelpunkt för den omskrivna cirkeln till triangeln.

Bevis
Betrakta triangeln   i figur 7. Den omskrivna cirkelns medelpunkt ligger i  . Sträckorna (storcirkelbågarna) från   till triangelhörnen är radier i den omskrivna cirkeln, det vill säga  . Alltså är  ,   och   likbenta trianglar och således går mittpunktsnormalerna till dessa trianglars tredje sida,  ,   respektive  , genom triangelhörnet  .

Den omskrivna cirkelns medelpunkt är även medelpunkt till den polära triangelns inskrivna cirkel. För bevis se artikeln Polär triangel.

Längden   av radien i den omskrivna cirkeln till triangeln   (på en enhetssfär) med sidlängderna  ,   och  , och hörnvinklarna  ,   respektive   i de till dessa sidor motstående hörnen fås genom:

 [13]

där  .

Härledning
Triangeln   i figur 7 delas av radierna från   till triangelhörnen upp i de tre likbenta  ,   och   vars vinklar i hörnen   och  ,   och   respektive   och   är inbördes lika, i figuren benämnda   (blå),   (orange) respektive   (grön). Sålunda har vi:
 
vilket ger:
 
 
Eftersom triangeln   är rätvinklig i hörnet  , har hypotenusan   med längden   och kateten   med längden   (eftersom   är mittpunktsnormal till   som har längden  ) kan vi utnyttja   (se avsnittet Rätvinkliga sfäriska trianglar ovan, första formeln från de sfäriska cotangensformlerna - med ändrade beteckningar[14]), vilket med beteckningarna i figur 7 ger:
 
Den sfäriska formeln för tangens för halva sidan,  , ger vidare:
 

Höjder och ortocentrumRedigera

 
Figur 8: En sfärisk triangel (blå) och den till denna polära triangeln (röd). Höjderna är markerade med grönt och skär varandra i en gemensam punkt, ortocentrum. De skär varandra också i en diametralt motsatt punkt, ett andra ortocentrum, på sfären (ej utritat).

En höjd i en sfärisk triangel är en storcirkelbåge som går genom ett hörn och skär den motstående sidan, eller dess förlängning, i rät vinkel.

Storcirklarna till de tre höjderna i en sfärisk triangel, med högst ett rätvinkligt hörn, skär varandra i en gemensam punkt kallad ortocentrum - eller, rättare sagt i två punkter, eftersom storcirklar alltid skär varandra i två diametralt motsatta punkter. För ett bevis se artikeln Ortocentrum. Om ett, och endat ett, hörn i en sfärisk triangel är rätvinkligt, ligger ortocentrum i detta hörn. Ifall att exakt två hörn är rätvinkliga är det tredje hörnet pol till ekvatorn genom de båda rätvinkliga hörnen och således är alla storcirkebågar från polen till ekvatorn höjder för det icke rätvinkliga hörnet. Om alla tre vinklarna är rätvinkliga kan höjden till ett hörn ligga på vilken storcirkel som helst genom hörnet och en skärningspunkt mellan höjderna således åstadkommas varhelst man önskar på sfärens yta.

Höjdernas storcirklar i en sfärisk triangel sammanfaller med höjdernas storcirklar i den polära triangeln och därmed sammanfaller även de båda trianglarnas ortocentra. Se artikeln Polär triangel för bevis.

Höjderna beräknas genom att använda formlerna för rätvinkliga trianglar (se formlerna från sfäriska sinussatsen i avsnittet Rätvinkliga sfäriska trianglar ovan). Om vi vill beräkna höjden   från hörnet   till sidan   kan vi använda

 

där   är vinkeln i   och  .

Medianer och tyngdpunktRedigera

 
Figur 9: Den sfäriska triangelns   medianer (blå) skär varandra i punkten  eftersom medianerna (smala blå) till den underliggande plana triangeln   gör så. De tre medianplanen, av vilka det till medianen   markerats med grön färg, skär varandra längs den gröna räta linjen  .
 
Figur 10: Triangeln   med medianen  . Hörnet   ligger i polen och   ligger på ekvatorn. Vi ser att  , så   är bisektris till  . Eftersom   och   är kongruenta kan trianglarna   och   inte ha samma area. Eftersom tyngdpunkten till fyrhörningen   uppenbarligen ligger på   kan inte tyngdpunkten till triangeln   göra det.

I en sfärisk triangel är en median en storcirkelbåge som går genom en sidas mittpunkt och det till sidan motstående hörnet. Medianerna skär varandra i en gemensam punkt.

Bevis
Betrakta den sfäriska triangeln   på en enhetssfär med medelpunkt i   i figur 9. Den räta linjen   är bisektris till   och delar triangelsidan   i två lika delar.   delar också den rätlinjiga kordan från   till   i två lika delar, vi kallar skärningspunkten   (ej utmärkt i figuren). Samma sak gäller linjerna   och   gentemot respektive (sfäriska) triangelsidor och kordor. De tre kordorna bildar sidor i en plan triangel och i en sådan skär medianerna varandra i en gemensam punkt (se artikeln Median (geometri) för bevis) som vi kallar   (ej utmärkt). De tre plan som spänns upp av respektive av de tre medianerna i den plana triangeln och sfärens medelpunkt skär varandra alltså längs den räta linjen   (grön i figur 9). Eftersom   ligger på   ligger den rätlinjiga medianen   i det plan som spänns upp av   och  . Men detta plan är ju detsamma som storcirkelplanet för den sfäriska medianen   (gröntonat i figur 9). Således skär också de tre sfäriska medianplanen varandra längs linjen  , och således skär de tre medianerna i den sfäriska triangeln varandra i en punkt (betecknad  ) som ligger på  

Längden av en median beräknas med hjälp av den sfäriska cosinussatsen eftersom två sidor och deras mellanliggande vinkel är kända. Således för, exempelvis,   i figur 9 har vi sidorna   och   samt vinkeln   i hörnet  :

 

I en plan triangel delar medianen triangeln i två trianglar med lika area. Detta är inte fallet för en sfärisk triangel om den inte är likbent kring medianen.

Hos en plan triangel är medianernas skärningspunkt också triangelns tyngdpunkt, men detta gäller normalt inte för en sfärisk triangel (se figur 10 för ett tydligt exempel på detta). En median i en plan triangel delar triangeln i två trianglar med lika bas och lika höjd och som därför har sin respektive tyngdpunkt på samma avstånd från medianen, varför de båda trianglarnas gemensamma tyngdpunkt ligger medianen. För en sfärisk triangel gäller att tyngdpunkten ligger på en median endast om den delar en likbent triangel (i det mellanliggande hörnet till de lika sidorna) och för att tyngdpunkten skall ligga på alla tre medianerna måste triangeln således vara liksidig.

Vektorn   till den sfäriska triangelns tyngdpunkt, på en enhetssfär, ges av:[15][16]

 

där   är det sfäriska överskottet (se ovan under Area och sfäriskt överskott).

Med den polära triangeln   till   förenklas ovanstående uttryck till:

 

Referenser och noterRedigera

  1. ^ L'Huiliers Theorem på Wolfranm MathWorld.
  2. ^ Casey (1889), artikel 48, sid. 44. Todhunter (1886), artikel 102, sid. 70.
  3. ^ De båda kända sidorna möts i hörnet med den kända vinkeln.
  4. ^ De båda hörnen med kända vinklar ligger i varsin ände av den kända sidan,
  5. ^ Dela triangeln så att en känd sida blir hypotenusa med ett intilliggande känt hörn.
  6. ^ Två sinussatser innehåller  , två av de sex cotangensformlerna innehåller   och två  , alla de tre duala cosinussatserna innehåller  , men en av dem på "ett annat ställe" vilket ger "ett annorlunda resultat", och en av de tre cosinussatserna innehåller  .
  7. ^ Casey (1889), artikel 35-37, sid. 32-35. Todhunter (1886), artikel 61-62, sid. 33-34.
  8. ^ John Napier, 1614, Mirifici logarithmorum canonis descriptio, ejusque usus, in utraque trigonometria; ut etiam in omni logistica mathematica, amplissimi, facillimi, & expeditissimi explicatio, Bok II, kapitel IV, sid. 30 ff. Engelsk översättning med kommentarer av Ian Bruce sid. 41 ff (10/31), PDF 300kB.
  9. ^ Casey (1889), artikel 38, sid. 35-36. Todhunter (1886), artikel 66, sid. 35-36.
  10. ^ Casey (1889), artikel 39, sid. 38-39.
  11. ^ Storcirkelplanet genom   och   är ett normalplan till storcirkelplanet genom   och  . Den rätlinjiga fotpunkten till   på storcirkelplanet genom   och   ligger inne i sfären på skärningslinjen mellan de båda planen, varför "fotpunkt" här skrivs inom citationstecken - med "fotpunkt" avses här planens skärningslinjes skärningspunkt med sfärens yta, vilket innebär att vinkeln mellan de båda storcirkelbågarna är rät.
  12. ^ d (=a) och e (=b) är kateter och δ(=α) är motstående vinkel till d.
  13. ^ Notera att   eftersom  .
  14. ^ δ motsvarar α i formeln, h hypotenusan (c) och k den till δ närstående kateten (b).
  15. ^ J.E. Brock, 1975, The Inertia Tensor for a Spherical Triangle, i Journal of Applied Mechanics, mars 1975, sid. 239.
  16. ^ J.E. Brock, 1974, The centroid and inertia tensor for a spherical triangle , Monterey, California, Naval Postgraduate School.