Areasatsen

Areasatsen är en formel för att beräkna en triangels area då två sidor och mellanliggande vinkel är kända.

Antag en triangel med sidlängderna $a,b$ och $c$ och där sidornas motstående vinklar är $\alpha$, $\beta$ respektive $\gamma$.

Triangelns area kan då beräknas med någon av formlerna

$Arean={ab\sin \gamma \over 2}$

$Arean={ac\sin \beta \over 2}$

$Arean={bc\sin \alpha \over 2}$

Härledning

Arean av en triangel är lika med basen $b$ multiplicerat med höjden $h$ genom två, det vill säga:

$\ Arean={bh \over 2}$

Med hjälp av trigonometri kan vi teckna följande samband mellan höjden $h$, sidan $a$ och vinkeln $\gamma$:

$\sin \gamma ={h \over a}$

Vilket är ekvivalent med

$\ h={a\sin \gamma }$

Insättning av denna ekvation i den första ger:

$\ Arean={ab\sin \gamma \over 2}$

Om vinkeln $\gamma$ är trubbig gäller inte ovanstående. Man kan då med liknande resonemang komma fram till att

$Arean={ab\sin(180-\gamma ) \over 2}$

Men då $\sin(180-\gamma )=\sin \gamma$ leder även detta till areasatsen.

Se även

• Sinussatsen
• Cosinussatsen
• Tangenssatsen
• Herons formel