Bisektris

delar en vinkel i två lika delar

En bisektris till en vinkel är en stråle från B genom en punkt D sådan att . En bisektris delar en vinkel i två lika delar (bisektris betyder "dela i två delar"). En vinkel har endast en bisektris. Varje punkt på en vinkels bisektris har samma avstånd till vinkelns sidor. Om en stråle delar en vinkel mindre än säger man att strålen är en inre bisektris. Den yttre bisektrisen är strålen som delar en vinkels supplementvinkel i två lika delar.

Bisektriserna till en triangel (röda linjer) skär varandra i en punkt
Konstruktion med passare och rätskiva.

För att konstruera en vinkels bisektris med passare och rätskiva dras en cirkel vars centrum är vertex. Cirkeln korsar vinkelns sidor i två punkter. Med dessa två punkter som centrum, rita två cirklar med samma storlek som den första. Skärningspunkterna för cirklarna bestämmer en stråle som är vinkelns bisektris. Värt att notera är att en godtycklig vinkel[1] inte kan delas i tre lika stora delar med endast passare och rätskiva (detta bevisades först av Pierre Wantzel).

TriangelRedigera

De tre bisektriserna till hörnen i en triangel skär varandra i en punkt, centrum för trianglens inskrivna cirkel. Bisektriserna till en triangel är cevianer. De tre skärningspunkterna med vinklarnas motstående sidor har de trilinjära koordinaterna   respektive  .[2]

BisektrissatsenRedigera

 
Figur 1: Bisektrissatsen: b/c = x/y.   betecknar bisektrisens längd

En bisektris delar motstående sida i samma proportioner som längderna av de sidor som bildar den delade vinkeln:

  (1)

Drag linjen CD parallell med sidan AB och dra ut bisektrisen till skärningspunkten med D (se figur 1). Då är triangeln ACD likbent eftersom dess vinklar i A och D är lika och sidan AC har således samma längd som CD. Trianglarna CDE och ABE är likformiga och sambandet (1) följer.

Bisektrisens längdRedigera

Om sidlängderna i en triangel är   är semiperimetern (halva omkretsen)   och om   är motstående hörn till sidan  , då är längden av bisektrisen till vinkeln   i   (figur 1):

 
Härledning
Med hjälp av bisektrissatsen får vi:
  (1) och, likaledes,
  (2)
Stewarts sats ger:
  (3)
Insättning av (1) och (2) i (3) ger
 
 
  (ur detta steg fås enkelt  .)
  (4)
Insättning av   ger vidare
 
 

Tangentens längd fås också med hjälp av nedanstående trigonometriska funktion,[3]

 
Härledning
Fås ur (4) ovan, cosinussatsen i formen   och   ty
 
 
 

Om bisektrisen till vinkeln   i triangeln   har längden   och delar motstående sida i två delar med längd   och   då är

 

där   och   är sidor motstående till hörnen   och  .

Om bisektriserna till vinklarna     och   har längderna     och   då är [4]

 

Till tre bisektriser med givna längder finns alltid en och endast en triangel.[5]

ReferenserRedigera

NoterRedigera

  1. ^ Undantag finns för vissa givna vinklar; exempelvis vinklar som är heltalsmultipler av  . Dessa kan delas via en regelbunden sexhörning och successiva halveringar av dennas sidor. För att dela en rät vinkel: Sätt passaren i vinkeln och rita en cirkel som skär de båda vinkelbenen och placera sedan passaren i var och en av dessa skärningspunkter och avsätt cirkelns radie på cirkeln och vinkeln är delad i tre vinklar på vardera 30°. Även femhörningar (och sjuttonhörningar) kan användas.
  2. ^ Eric Weisstein, Angle bisector på Wolfram MathWorld.
  3. ^ Oxman, Victor, On the existence of triangles with given lengths of one side and two adjacent angle bisectors, Forum Geometricorum 4, 2004, 215–218.
  4. ^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
  5. ^ För ett bevis se Beni Bogoşel, 2010, The Existence of a Triangle with Prescribed Angle Bisector Lengths.