Stone–Weierstrass sats

(Omdirigerad från Stone-Weierstrass sats)

Inom matematiken -- mer specifikt inom matematisk analys -- är Stone-Weierstrass sats ett viktigt resultat som rör approximation av kontinuerliga funktioner.

Bild över bernsteinpolynomen (...), (.-.) och (---) associerade med cosinus-funktionen (heldragen kurva).

Den klassiska varianten av satsen, kallad Weierstrass approximationssats, visades först av Karl Weierstrass år 1885 och säger att det, för varje kontinuerlig funktion

går att finna en sekvens av polynom

som konvergerar likformigt mot funktionen

Weierstrass approximationssats generaliserades senare av Marshall Stone, som visade ett liknande resultat för kontinuerliga funktioner definierade på ett godtyckligt kompakt Hausdorffrum. (Det slutna och begränsade intervallet är ett exempel på ett kompakt hausdorffrum.) Stone-Weierstrass sats visar även att man kan approximera kontinuerliga funktioner med andra funktioner än polynom.

Weierstrass ursprungliga resultat lyder som följer:

Låt vara en kontinuerlig funktion. Det existerar en sekvens av polynom som är sådana att

En nackdel med Weierstrass approximationssats är att den endast garanterar existensen av approximerande polynom. Det finns emellertid ett bevis av satsen som ger en explicit konstruktion av sekvensen . Detta bevis, som ges nedan, är ett exempel på hur man kan använda sannolikhetsteori för att bevisa resultat inom matematisk analys.

Sannolikhetsteoretiskt bevis av Weierstrass approximationssatsRedigera

Vi börjar med att konstruera en sekvens   av polynom; de så kallade bernsteinpolynomen. Därefter visar vi att de fyller sin funktion.

Välj ett godtyckligt heltal   och ett godtyckligt tal   Låt

 

vara oberoende, diskreta, stokastiska variabler, alla med samma frekvensfunktion:

 

Summan av dessa stokastiska variabler är en diskret stokastisk variabel,   vars frekvensfunktion är

 

där heltalet   och symbolen   är en så kallad binomialkoefficient.

Kvoten   antar värden som ligger i intervallet   vilket innebär att vi kan applicera funktionen   på dessa värden. Detta ger upphov till en diskret stokastisk variabel,   som antar värden ur mängden  . Väntevärdet för denna stokastiska variabel är det reella talet

 

Den kända frekvensfunktionen för summan   låter oss uttrycka väntevärdet som

 

Funktionen   definierad av

 

är ett polynom av grad  . Detta polynom kallas för bernsteinpolynomet av grad n, associerat med funktionen f.

Eftersom heltalet   valdes godtyckligt, har vi härmed lyckats konstruera en sekvens   av polynom.

De tre första bernsteinpolynomen är:

  •  
  •  
  •  

Vi skall nu visa att sekvensen av bernsteinpolynom konvergerar likformigt mot funktionen  , vilket, med vår konstruktion av bernsteinpolynomen som väntevärden av en sekvens av stokastiska variabler   innebär att gränsvärdet

 

För att göra detta väljer vi ett godtyckligt tal   och visar att

 

där   är ett godtyckligt valt positivt tal och   är ett positivt tal som bara beror på talet   och inte på talet  . Därmed är talet

 

en övre begränsning till mängden av tal

 

Då är talet

 

större än den minsta övre begränsningen (supremum) till mängden  , det vill säga

 

Denna övre begränsning är giltig för varje val av heltalet  . Därför kan vi välja detta heltal så stort — större än ett visst heltal   — att talet

 

Då får vi resultatet att det för varje tal   går att finna ett heltal   som är sådant att

 

för varje heltal   Detta är detsamma som att säga att

 

vilket i sin tur är samma sak som att säga att sekvensen av bernsteinpolynom   konvergerar likformigt mot den kontinuerliga funktionen   på intervallet  .

Det är endast en länk som fattas för att ovanstående resonemang skall bli korrekt: Vi måste visa att vi, för varje heltal   kan begränsa väntevärdet

 

uppåt enligt

 

där   är ett godtyckligt valt positivt tal och   är ett positivt tal som bara beror på talet   och inte på talet  .

Jensens olikhet tillämpad på den konvexa funktionen

 

låter oss begränsa väntevärdet uppåt med

 

Härnäst väljer vi ett godtyckligt reellt tal   och splittrar upp väntevärdet

 

i en summa bestående av två termer, beroende på om den stokastiska variabeln

 

är större eller mindre än talet  :

 

Eftersom funktionen

 

är kontinuerlig på det slutna och begränsade intervallet   så är den likformigt kontinuerlig på detta intervall och värdet

 

är ändligt.

Välj nu ett godtyckligt tal  . Den likformiga kontinuiteten ger oss då ett tal   — som endast beror på talet   — som är sådant att, om

 

så är den stokastiska variabeln

 

Det är därför lämpligt att låta det tidigare godtyckligt valda talet talet   vara just detta tal  , vilket innebär att vi kan uppskatta det första väntevärdet i ovanstående summa enligt

 

För att uppskatta den andra summan använder vi Triangelolikheten för reella tal och de faktum att

 

samt

 

för att få

 

där vi har använt oss av sambandet

 

mellan väntevärde och sannolikhet, giltigt för varje mätbar mängd  . (Mängden

 

är mätbar.)

Markovs olikhet låter oss uppskatta sannolikheten

 

enligt:

 

Eftersom väntevärdet för den stokastiska variabeln   är

 ,

så är väntevärdet

 

där   betecknar variansen för den stokastiska variabeln   och kan beräknas exakt:

 

En kvadratkomplettering visar att det för varje värde på talet   gäller att

 

vilket låter oss uppskatta sannolikheten

 

enligt

 

Sammanfattningsvis har vi funnit den sökta övre begränsningen av väntevärdet

 

Därmed är beviset av Weierstrass approximationssats fullbordat.

Stone-Weierstrass sats för komplex-värda funktionerRedigera

Låt   vara ett kompakt Hausdorffrum och låt   vara en sluten, komplex delalgebra till mängden   av alla komplex-värda kontinuerliga funktioner   Om algebran   separerar punkter i   och är sluten under komplex-konjugering, så gäller endera av följande två fall:

  •  
  • Det finns en punkt   som är sådan att

 

En delmängd   till mängden   separerar punkter i   om det, för varje val av två distinkta punkter   och   i Hausdorffrummet   går att finna en funktion   som skiljer på dessa punkter, det vill säga att de komplexa talen   och   är olika.

Stone-Weierstrass sats medför Weierstrass resultat: Mängden av alla polynom på det kompakta Hausdorffrummet   är en delalgebra av de kontinuerliga funktionerna, eftersom summor och produkter av polynom också är ett polynom. Vidare är den konstanta funktionen 1 ett polynom av grad 0 utan nollställe, och givet någon punkt x i ett intervall finns det polynom   sådana att  .

Stone–Weierstrass sats har stor betydelse inom många delar av den matematiska analysen.

Lokal-kompakt version av Stone-Weierstrass satsRedigera

Det finns även en variant av Stone-Weierstrass sats som gäller för lokalt kompakta Hausdorffrum som inte är kompakta.

Låt   vara ett lokal-kompakt hausdorffrum som inte är kompakt och låt   vara en sluten delalgebra av mängden  . Om mängden   separerar punkter i   så gäller endera av följande två fall:

  •  .
  • Det finns en punkt   sådan att

 .

Mängden   består av alla kontinuerliga funktioner

 

som försvinner i oändligheten, i den bemärkelsen att

 

är en kompakt delmängd av   för varje val av det reella talet  .