Triangelolikheten [1] är en matematisk olikhet enligt vilken längden av en viss sida i en triangel är mindre än(eller lika med) summan av längderna av de övriga sidorna men större än(eller lika med) differensen mellan dessa sidor (brukar kallas den omvända triangelolikheten).

Exempel på triangelolikheten

Den är giltig i en stor uppsättning rum, bland annat för de reella talen.

Normerat vektorrumRedigera

I ett normerat vektorrum V kan triangelolikheten skrivas

 

för alla

 

Likhet gäller om och endast om x och y är parallella.

Reella tallinjenRedigera

Den reella tallinjen är ett normerat vektorrum med absolutbeloppet som norm. Triangelolikheten för de reella talen skrivs därmed som

 

Här gäller likhet om x och y har samma tecken.

Komplexa talplanetRedigera

Inom komplex analys gäller olikheten

 

med likhet om

 .

Dessutom (se följdsatsen nedan) gäller

 

med likhet om

 .

Metriska rumRedigera

Triangelolikheten ingår som ett av de definierande axiomen för metriken d i ett metriskt rum .

Den innebär att summan av avståndet mellan två punkter p och q alltid är mindre eller lika med summan av avstånden mellan punkt p och en godtycklig punkt r, samt avståndet från r till q:

 

där d(p, q) betecknar avståndet mellan p och q. Funktionen d(p, q) : → ℝ kallas metriken, eller avståndsfunktionen. Notera att det är avståndet mellan två objekt som definierar rummet och inte tvärt om.

FöljdsatsRedigera

Ur triangelolikheten följer att

 

och

 

vilket betyder att normen ||a|| och avståndsmåttet d(a,b) är Lipschitz-kontinuerliga och därmed även kontinuerliga.

Serier och integralerRedigera

Triangelolikheten har ett antal följdsatser.

Med induktion man kan visa att

 

för xi ∈ ℝ och n ∈ ℕ.

För absolutkonvergenta serier, det vill säga för

 

finns en triangelolikhet:

 .

För en integral, exempelvis Riemannintegralen, kan man med definitionen av supremum och infimum visa att det finns en triangelolikhet

 ,

om f(x) är Riemannintegrerbar.

Se ävenRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.
  1. ^ Wolfram MathWorld – http://mathworld.wolfram.com/TriangleInequality.html