Öppna huvudmenyn
Tre exempel som visar triangelolikheten.

Triangelolikheten är en matematisk olikhet enligt vilken längden av en viss sida i en triangel är mindre än(eller lika med) summan av längderna av de övriga sidorna men större än(eller lika med) differensen mellan dessa sidor (brukar kallas den omvända triangelolikheten).

Den är giltig i en stor uppsättning rum, bland annat för de reella talen.

Innehåll

Normerat vektorrumRedigera

I ett normerat vektorrum V kan triangelolikheten skrivas

 

för alla

 

Likhet gäller om och endast om x och y är parallella.

Reella tallinjenRedigera

Den reella tallinjen är ett normerat vektorrum med absolutbeloppet som norm. Triangelolikheten för de reella talen skrivs därmed som

 

Här gäller likhet om x och y har samma tecken.

Komplexa talplanetRedigera

Inom komplex analys gäller olikheten

 

med likhet om

 .

Dessutom (se följdsatsen nedan) gäller

 

med likhet om

 .

Metriska rumRedigera

Triangelolikheten ingår som ett av de definierande axiomen för metriken d i ett metriskt rum .

Den innebär att summan av avståndet mellan två punkter p och q alltid är mindre eller lika med summan av avstånden mellan punkt p och en godtycklig punkt r, samt avståndet från r till q:

 

där d(p, q) betecknar avståndet mellan p och q. Funktionen d(p, q) : → ℝ kallas metriken, eller avståndsfunktionen. Notera att det är avståndet mellan två objekt som definierar rummet och inte tvärt om.

FöljdsatsRedigera

Ur triangelolikheten följer att

 

och

 

vilket betyder att normen ||a|| och avståndsmåttet d(a,b) är Lipschitz-kontinuerliga och därmed även kontinuerliga.

Serier och integralerRedigera

Triangelolikheten har ett antal följdsatser.

Med induktion man kan visa att

 

för xi ∈ ℝ och n ∈ ℕ.

För absolutkonvergenta serier, det vill säga för

 

finns en triangelolikhet:

 .

För en integral, exempelvis Riemannintegralen, kan man med definitionen av supremum och infimum visa att det finns en triangelolikhet

 ,

om f(x) är Riemannintegrerbar.

Se ävenRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.