Öppna huvudmenyn

Inom matematiken sägs en följd av funktioner konvergera likformigt mot en funktion på en mängd om följande villkor uppfylls:

  • För varje så finns ett så att för alla så gäller att medför

Detta skall jämföras med villkoret att följden endast konvergerar (punktvis konvergens), som lyder enligt följande:

  • För varje och så finns ett så att medför

ExempelRedigera

  1. Följden   konvergerar likformigt mot   .
  2. Följden   konvergerar mot   för alla   i  , men inte likformigt
  3. Följden   konvergerar, men inte likformigt, mot funktionen   på intervallet   där   är funktionen som har värdet   i punkten   och värdet   annars.

EgenskaperRedigera

Likformig konvergens är ett viktigt begrepp i analysens grunder, eftersom det används för att sluta sig till egenskaper hos en funktion   som är gränsvärdet av en följd   utifrån egenskaper hos funktionerna  . Till exempel gäller att en om en följd av kontinuerliga funktioner konvergerar likformigt mot en funktion, är även denna funktion kontinuerlig. I exempel 3 ovan är varje   kontinuerlig medan gränsfunktionen,  , är diskontinuerlig varför funktionsföljden inte kan konvergera likformigt.

Att en funktionsföljd   konvergerar punktvis mot en funktion   är ett krav för likformig konvergens. Den likformiga gränsfunktionen är då nödvändigtvis  . Med supremumnormen kan vi säga att en funktionsföljd konvergerar om och endast om:

 ,

vilket är ekvivalent med definitionen ovan, men oftast enklare att räkna med. Processen blir då att först bestämma den punktvisa gränsfunktionen   och sedan kontrollera gränsvärdet:

 

som ska vara   om vi har likformig konvergensen.

Ett annat bra sätt att ta reda på om en funktionsserie konvergerar är med Weierstrass majorantsats.

Gränsövergång under integraltecknetRedigera

Om vi har en funktionsföljd   som konvergerar likformigt på intervallet [a,b] så gäller det att:

 

Detta är långt ifrån självklart och därför en viktig motivering till begreppet likformighet

BevisRedigera

Låt oss teckna  . Vidare ger oss kravet på likformighet att:

   och  

Vi undersöker vårt påstådda gränsvärde:

 
  

Vilket bekräftar vår tes

FunktionsserieRedigera

Vi kan även betrakta en funktionsserie  där   och   som konvergerar likformigt då   där   är konvergensområdet. Med denna notation fås att:

 

BevisRedigera

 
 

Vilket skulle visas.