Projektion (algebra)

geometriskt koncept

Inom matematikområdena linjär algebra och funktionalanalys är en projektion en linjär avbildning från ett vektorrum till sig själv sådant att (man säger att är idempotent).

En ortogonalprojektion är inom linjär algebra en metod att bestämma en uppdelning av en vektor i en del som ligger i ett underrum och den del som är ortogonal mot underrummet. Även ortogonala projektioner kan uttryckas som avbildningar, men framställs ofta som en formel, projektionsformeln.

Ortogonala projektioner på vektorer och underrumRedigera

Givet ett underrum   till det euklidiska rummet   så finns ett ortogonalt komplement till  , betecknat  , som består av alla vektorer i   som är ortogonala mot alla vektorer i  . Då kan en vektor   i   uttryckas som en summa av två vektorer i   respektive  :

 

  kallas den ortogonala projektionen på  .

Om   är en ortogonal normerad bas i   så ges en vektor  :s koordinater   i den basen genom skalärprodukten:

 .

Detta kommer av att varje vektor i   kan uttryckas som en linjärkombination av vektorer i en bas:

 

om man applicerar en skalärprodukt på vektorn får man att:

 .

Om basen är ortonomerad så kommer alla skalärprodukter där vänster- och högersidan är olika bli noll på grund av ortogonaliteten, och den skalärprodukt där vektorerna är lika bli ett på grund av normaliteten.

Av detta följer att om man vill veta projektionen av en vektor   på en annan vektor   (eller underrummet som spänns upp av  ) som är normerad ges detta helt enkelt av:

 

Om   inte är normerad blir inte  , och därför måste man kompensera:

 

Om man har ett hyperplan   med normalvektorn   och vill projicera vektorn    kan detta göras med:

 

  spänner upp det ortogonala komplementet till  .

Detta kan generaliseras; om ett underrum har flera normaler projicerar men helt enkelt på alla av dessa, alternativt projicerar man på basvektorerna för underrummet. Projektioner används i Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess.

ProjektionsavbildningarRedigera

En avbildning   som uppfyller   kallas för en projektion.

ExempelRedigera

 
Avbildningen P projicerar punkterna ortogonalt på linjen m

Följande matris projicerar en vektor i   på y-axeln:

 

Man ser här att om vektorn som   appliceras på inte har någon utsträckning x-led kommer den att bli oförändrad.

Följande matris projicerar en vektor i   på xy-planet:

 

Betrakta nu en godtycklig vektor:

 

Och jämför   med  :

 
 

Dvs,  . Då   är en matris detta också ses genom direkt beräkning av   med matrismultiplikation.

EgenskaperRedigera

Projektioner på vektorrum har följande egenskaper:

  • Har endast egenvärdena 1 och 0
  • Med undantag av enhetmatrisen är determinanten till en projektion är noll, projektioner är därför inte inverterbara. Detta kan ses genom att använda faktumet att determinanten till en matris är produkten av egenvärdena. Om minst ett egenvärde är noll blir determinanten noll.
  • Projektioner är diagonaliserbara.

Ortogonala projektionerRedigera

Om vektorrummet som projektionen verkar i har en inre produkt, kan man prata om ortogonala projektioner. En ortogonal projektion har ett värderum som är ortogonalt mot dess nollrum. En projektion   är ortogonal om och endast om   om vektorrummet är reellt (om vektorrummet är komplext så är kravet  , där   är  :s hermiteska konjugat). Antag att   och betrakta vektorn   i vektorrummet. Ur projektionsdefinitionen kommer då att vektorn   ligger då i  :s värderum och   i  :s nollrum. För att två vektorer ska vara ortogonala ska skalärprodukten   av de två vara noll:

 

Vilket visar att nollrummet är ortogonalt mot värderummet.