Linjärkombination

En linjärkombination är en summa bildad ur en mängd av termer och där varje term i summan multiplicerats med en konstant faktor. Linjärkombinationer är av central betydelse inom linjär algebra och närliggande matematiska områden.

Linjärkombinationen ${\vec {v}}=2{\vec {u}}_{1}+1.5{\vec {u}}_{2}$

Om en vektor $\mathbf {u}$ i ett linjärt rum kan skrivas

$\mathbf {u} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\dots +c_{n}\mathbf {v} _{n}$

där $\ c_{1},\ c_{2},\ \dots ,\ c_{n}$ är skalärer, är $\mathbf {u}$ en linjärkombination av mängden $\{\mathbf {v} _{1},\ \mathbf {v} _{2},\ \dots ,\ \mathbf {v} _{n}\}$.

Exempel

Vektorer

En vektor skriven som en linjärkombination av två andra vektorer:

${\begin{bmatrix}7\\2\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}+2\cdot {\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}}$

En vektor kan delas upp i komponenter i form av en linjärkombination:

$\,(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})=a_{1}(1,\ 0,\ 0)\,+\,a_{2}(0,\ 1,\ 0)+a_{3}(0,\ 0,\ 1)$

Funktioner

Funktioner skrivna som linjärkombinationer av andra funktioner:

• $\ \cos x={\frac {1}{2}}e^{ix}+{\frac {1}{2}}e^{-ix}$
• $\ e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Polynom

Polynomet

$\ x^{2}-2x+3$

kan med hjälp av

$\ v_{1}=(x^{2},\ 0,\ 0),\ v_{2}=(0,\ x,\ 0),\ v_{3}=(0,\ 0,\ 1)$

skrivas som linjärkombinationen

$v_{1}-2v_{2}+3v_{3}$

Referenser

• Sparr, Gunnar, 1942- (1995 ;). Linjär algebra. Studentlitteratur. OCLC 187001658. http://worldcat.org/oclc/187001658. Läst 7 maj 2019