Öppna huvudmenyn
En geometrisk tolkning av den inre produkten.
En geometrisk tolkning av den inre produkten.

Inom linjär algebra, är inre produktrum ett vektorrum som har ytterligare struktur genom att en inre produkt (också kallad skalärprodukt) är definierad, vilket gör det möjligt att införa geometriska begrepp såsom vinklar och normen för vektorer.[1]

Innehåll

DefinitionRedigera

Låt V vara ett vektorrum över en kropp K. K kommer i fortsättningen antingen vara   eller  . V är nu ett inre produktrum om det finns en funktion

 

kallad inre produkt som är

 

vilket till exempel innebär att  

 

eftersom   är detta väldefinierat.

 

och

 

Notera att denna definition för komplexa vektorrum innebär att den inre produkten är linjär i första variabeln, men antilinjär i den andra. Detta kallas ofta seskvilinjäritet. Detta är enbart en konvention, den inre produkten kan även definieras så att det omvända gäller. Oftast brukar man i matematiska sammanhang kräva linjäritet i första variabeln, medan man inom kvantfysik ofta vill ha linjäriteten i den andra variabeln.

Om   sägs x och y vara ortogonala (vinkelräta). Detta betecknas ofta som  .

ExempelRedigera

Reella rumRedigera

I det ändligtdimensionella rummet   bestående av alla reella  -tipler kan skalärprodukten införas som inre produkt, så om   är element i  :

 

eller, uttryckt som matrismultiplikation:

 

där   är   transponerat.

Komplexa rumRedigera

Om  -tiplarna istället är komplexa så ges en inre produkt av

 

där   är det hermiteska konjugatet av   och   är det komplexa konjugatet av  .

En allmännare form för en inre produkt för   är

 

där   är en positivt definit matris. Detta gäller även för reella rum, då det hermiteska konjugatet blir transponat.

FunktionsrumRedigera

Det oändlighetsdimensionella (det vill säga, har ej någon ändlig bas) funktionsrummet   av alla reella funktioner som är kontinuerliga på intervallet   har en inre produkt:

 

 .

Med hjälp av inre produkten kan normen av f definieras:

 

Normen kan ses som en slags längd av f och

 

kan kallas avståndet mellan "punkterna" f och g.

EgenskaperRedigera

Det är lätt att visa att funktionen   sådan att   är en norm på V. Om   är fullständig med avseende på metriken som ges av denna norm, kallas   för ett Hilbertrum.

För ett inre produktrum gäller de välkända satserna

 
Likhet gäller om och endast om x och y är linjärt beroende.
 
 
Likhet gäller om och endast om Cauchy-Schwarz olikhet är en likhet.
 

Baser i inre produktrumRedigera

En bas   för ett inre produktrum sägs vara en ortonormal bas (eller ON-bas; även termen ortogonal bas kan förekomma i denna mening) om det för alla element i basen gäller att   om   och   för alla i. Givet en bas för ett ändligtdimensionellt inre produktrum   kan en ortonormal bas fås genom Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess.

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

NoterRedigera

  1. ^ Renze, John; Stover, Christopher; and Weisstein, Eric W. "Inner Product." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.