Värderummet, även känt som kolonnrummet, eller bilden till en linjär avbildning är avbildningens värdemängd.

Värderummet V för en linjär avbildning (där och är två vektorrum) definieras som:

Det vill säga mängden av alla vektorer i som nås av . Att värderummet gör skäl för sitt namn och inte bara är en delmängd utan även ett underrum till visas med hjälp av definitionen av en linjär avbildning. Ty om och så existerar det så att och då gäller:

Vilket är ekvivalent med att är ett underrum av .

Eftersom och således kan skrivas på formen där är en bas till så gäller även:

Det vill säga att är en linjärkombination av och således spänns upp av det linjära höljet av dessa vektorer, vilket är ekvivalent med att säga att spänns upp av det linjära höljet av kolonnerna i den matris som avbildningen beskrivs av.

TolkningRedigera

Om avbildningen   kan skrivas med matrisen   innebär det att ekvationen   har lösningar om och endast om   , det vill säga om   faktiskt nås av  . Detta innebär alltså att om du har ett system som beskrivs av  , där   är någon slags transform som verkar på en insignal   och ger en utsignal   t.ex., så är det enbart utsignaler hörandes till värderummet som faktiskt kan erhållas.

ExempelRedigera

  • Bestäm   om   är en ortogonalprojektion i ett plan.

Lösning: Vid en ortogonalprojektion projiceras varje vektor ner i planet, alltså att man från en given vektor enbart erhåller den komposant som är parallell med planet. Således består   av alla vektorer i planet, ty det är dessa som nås av avbildningen.

  • Bestäm   om   är en vridning med vinkel   kring en axel i rummet.

Lösning: Varje vektor i rummet kan erhållas genom att vrida någon annan vektor vinkel  , således kan samtliga vektorer nås av avbildningen och   utgörs helt enkelt av rummet.

  • Bestäm en bas till   om     4     4 ges av matrisen  :

 

Lösning:   spänns upp av kolonnerna i   och vi finner således en bas till värderummet genom att teckna kolonnernas beroendeekvation och plocka bort eventuella linjärkombinationer.   (där   är kolonnerna i  ) ger följande ekvationssystem som löses med stegvis gausselimination:

 

 , det vill säga en parameterlösning med två parametrar vilket innebär att vi kan plocka bort två av kolonnerna utan att påverka vad de spänner upp. Man ser också att  , alltså att   och   är linjärkombinationer av övriga kolonner och således kan plockas bort.   spänner således upp   och utgör en bas för värderummet.

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

  • Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2013, Matematiska institutionen, Linköpings Universitet
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.