Öppna huvudmenyn

Egenvärde, egenvektor och egenrum

(Omdirigerad från Egenvärde (matematik))
I denna transformation ändras den röda pilens riktning vilket inte är fallet med den blå pilen. Därför är den blå pilen en egenvektor med egenvärdet 1 då dess längd inte ändras

Egenvektorer till en kvadratisk matris är de nollskilda vektorer som bibehåller sin riktning efter multiplikation med matrisen. Till varje egenvektor hör en skalningsfaktor, ett egenvärde, med vilken vektorns storlek är ändrad efter matrismultiplikationen.

Ett egenrum för ett egenvärde är det delrum som spänns upp av egenvektorerna som hör till egenvärdet.

DefinitionerRedigera

 
Den linjära avbildningen A ändrar inte riktningen för vektorn x, bara dess storlek. Alltså är x en egenvektor till A
 
Transformationsmatrisen   bevarar riktningen hos de vektorer som är parallella med vektorerna   (i blått) och   (i violett). Punkterna som ligger på en linje genom origo som är parallell med någon egenvektor, ligger kvar på linjen efter transformationen. De röda vektorerna är inte egenvektorer då deras riktningar ändras av transformationen

Låt F vara en linjär avbildning från ett linjärt rum V till samma rum. En vektor u skild från nollvektorn i V sådan att

 ,

för något tal   är en egenvektor till F med egenvärdet  .

Om F kan framställas som en matris A är

 ,

där matrisen U är en matris av egenvektorer.

Mängden av egenvärden kallas den linjära avbildningens spektrum.

SekularekvationenRedigera

Antag en linjär avbildning av n-dimensionella vektorer definierade av en n × n matris A,

 

eller

 

där, för varje rad,

 .

Om v är en skalär multipel av w, det vill säga om

 

då är v en egenvektor till den linjära avbildningen A och skalfaktorn λ är det egenvärde som svarar mot egenvektorn. Ekvation (1) är egenvärdesekvationen till matrisen A och kan formuleras som

 

där I är identitetsmatrisen.

Ekvation (2) har en nollskild lösning v om och endast om determinanten till matrisen (AλI) är noll. Egenvärdena till A är därför de λ som satisfierar sekularekvationen till A:

 

Vänsterledet till ekvation (3) är ett polynom i λ av grad n,

 

vilket kallas det karaktäristiska polynomet till A.

Algebrans fundamentalsats innebär att karaktäristiska polynomet kan faktoriseras som

 

där varje λi kan vara ett reellt eller komplext tal. Talen λ1, λ2, ... λn, är polynomets nollställen och är egenvärdena till A.

Om   är en multipelrot som förekommer m gånger sägs   ha den algebraiska multipliciteten m.

Triangulär matrisRedigera

Determinanten till en triangulär matris

 

är produkten av elementen i diagonalen:

 

Sekularekvationen för en triangulär matris blir då

 

vilken uppenbarligen har lösningarna

 

En n×n matris kan överföras till en triangulär matris utan att dess egenvärden ändras.

Om A är en godtycklig n×n matris gäller därför

 
 
  • Egenvärdena till   är  

ExempelRedigera

Antag att en linjär avbildning ges av matrisen A enligt

 

Sekularekvationen

 

blir

 

där det karakteristiska polynomet i λ har rötterna

 

vilka alltså är avbildningens egenvärden.

Enligt ekvationen

 

är de motsvarande egenvektorerna lösningarna till systemen

 

Det första systemet har lösningen

 

och det andra lösningen

 

De till egenvärdena

 

hörande egenvektorerna är alltså

 

och alla vektorer som är parallella med dessa.

EgenrumRedigera

Egenrummet till ett egenvärde av en linjärtransformation är det vektorrum som spänns upp av de linjärt oberoende egenvektorerna till linjärtransformationen som svarar mot detta egenvärde. Antalet av dessa linjärt oberoende egenvektorer är egenrummets dimension och kallas egenvärdets geometriska multiplicitet.

Den geometriska multipliciteten är alltid mindre än eller lika med den algebraiska multipliciteten.

För en kvadratisk matris A, kan egenrummen fås, när egenvärdena är kända, genom ekvationen

 

som löses för vektorn x för alla egenvärden, exempelvis som ett linjärt ekvationssystem.

Transformationer i planetRedigera

Tabellen visar några exempel på transformationer i planet tillsammans med dessas 2×2 matriser, egenvärden och egenvektorer.

Horisontell skjuvning Skalning Olikformig skalning Moturs rotation med   radianer
Illustration      
Matris        
Karakteristisk ekvation λ2 − 2λ+1 = (1 − λ)2 = 0 λ2 − 2λk + k2 = (λ − k)2 = 0 (λ − k1)(λ − k2) = 0 λ2 - 2λ cos f + 1 = 0
Egenvärden λi λ1=1 λ1=k λ1 = k1, λ2 = k2 λ1,2 = cos f ± i sin f = e ± if
Algebraiska och geometriska multipliciteter n1 = 2, m1 = 1 n1 = 2, m1 = 2 n1 = m1 = 1, n2 = m2 = 1 n1 = m1 = 1, n2 = m2 = 1
Egenvektorer        

TillämpningarRedigera

Egenvärdesproblem har varit en viktig del inom matematiken och dess tillämpningar under mer än tvåhundra år. Inom mekaniken ger egenvärden resonansfrekvenser för mekaniska system. De grundtoner som frambringas av till exempel stränginstrument motsvaras av egenvärden för den svängande strängen.

Inom hållfasthetsläran används egenvärdesanalys för att studera spännings- och töjningstensorer. Egenvärdena ger tensorernas extremvärden som används för bedömning av risk för brott eller plastisk deformation.

Även inom kvantmekaniken är egenvärden av fundamental betydelse. De bestämmer till exempel de möjliga energinivåerna hos atomer och molekyler.

Matematiskt har egenvärdena och egenvektorerna betydelse vid diagonalisering av matriser och i det allmännare fallet Jordans normalform.

Se ävenRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.