Riemanns zetafunktion eller Euler–Riemanns zetafunktion är en av de viktigaste funktionerna inom den komplexa analysen. Den används bland annat inom fysik, sannolikhetslära och statistik. Det finns även en koppling mellan funktionen och primtalen, se Riemannhypotesen.[1] Hypotesen är ett av såväl Hilbertproblemen som Millennieproblemen och är fortfarande obevisad.

Riemanns zeta-funktion ζ(s) i det komplexa planet. Färgen på en punkt s visar värdet av ζ (s): starka färger är för värden nära noll och nyansen visar värdet på argumentet. Den vita fläcken vid s = 1 är en pol, de svarta prickarna på den negativa reella axeln och på den kritiska linjen Re (er) = 1/2 är nollställen.

Funktionen är den analytiska fortsättningen av serien

HistoriaRedigera

Under 1700-talet undersökte Euler serien med reella värden på s:

 

Serien konvergerar när s > 1. Han upptäckte att serien ovan även kan uttryckas som en oändlig produkt över alla primtal.

Bernhard Riemann undersökte den i det komplexa talplanet och bevisade att funktionen konvergerar för hela komplexa talplanet då Re(s) > 1.[1] Sedan dess används beteckningen ζ(s) för Riemanns zetafunktion.

DefinitionRedigera

Man kan definiera Riemanns zeta-funktion ζ(s) på två sätt, med hjälp av en Dirichletserie samt som en Eulerprodukt.

DirichletserieRedigera

Riemanns zeta-funktion definieras för {s ∈ C: Re(s)>1}, d.v.s. s= σ + it, σ>1, enligt:

 

Enligt Cauchys intergraltest är denna serie konvergent inom det intervallet. Enligt Weierstrass kriterium är funktionen ζ(s) holomorfisk för Re(s)= σ >1 och därmed absolutkonvergent.

EulerproduktRedigera

Euler visade år 1737[2] att serien

 

kan skrivas om som en produkt över alla primtal:

 

Man kan börja skriva om högerledet som en geometrisk serie:

 

där pi är det i:e primtalet.

I nästa steg utvecklar vi produkten av summan och vi får:

 

Nu kan vi med hjälp av aritmetikens fundamentalsats skriva om summorna: eftersom varje primtalsuppdelning är unik, och alla tal kan skrivas som en produkt av primtal (och en oändlig mängd ettor) så kommer varje heltal att dyka upp en och endast en gång, och därmed kan vi skriva

 

FunktionalekvationRedigera

För alla   gäller funktionalekvationen

 

Den kan skrivas i den symmetriska formen

 

Riemann definierade en annan funktion, Riemanns xi-funktion, med hjälp av vilken funktionalekvationen kan skrivas ännu kortare. Dess definition är

 

och dess funktionalekvation är

 

SerierepresentationerRedigera

LaurentserieRedigera

Riemanns zeta-funktion är meromorfisk med en simpel pol för s = 1. Därför kan den utvecklas i en Laurentserie runt s = 1:

 

Konstanterna γn kallas Stieltjeskonstanterna och kan definieras som

 

Konstanttermen γ0 är Eulers konstant.

Globalt konvergerande serierRedigera

En globalt konvergerande serie för zetafunktionen valid för alla komplexa tal s utom s = 1 + 2πin/log(2) för något heltal n förmodades av Konrad Knopp och bevisades av Helmut Hasse 1930:

 

Hasse bevisade även serien

 

Övriga serierRedigera

En serie med Pochhammersymbolen är

 


IntegralrepresentationerRedigera

För alla   gäller

 

och

 

För   gäller

 

En annan integral för   är

 .

Några specialfall för   och   är

 
 .

En integral för zetafunktionens derivata är

 

som gäller för alla komplexa tal utom 1.

För alla   kan zetafunktionen skrivas som multipelintegralen

 

EgenskaperRedigera

Även om   är

 

det vill säga zetafunktionen har en simpel pol vid s = 1 med residy 1.[1]

Speciella värdenRedigera

Jämna positiva heltalRedigera

 
 
 
 
 
 
 

och i allmänhet

 

för nN.

Udda positiva heltalRedigera

 
 
 
 
 

Man känner inte till någon sluten form för zetafunktionens udda värden, men flera snabbt konvergerande serier har bevisats:

 
 
 
 
 

Negativa heltalRedigera

 
 
 
 
 
 

DerivataRedigera

Zetafunktionens derivata för negativa jämna heltal ges av

 

De första värdena blir

 
 
 
 

Andra värden är

   A075700

och

   A084448

där A är Glaisher–Kinkelins konstant.

Relation till andra funktionerRedigera

Zetafunktionen kan formellt ges som Mellintransformationen

 

med hjälp av Jacobis thetafunktion

 

Integralen konvergerar dock inte för något värde på s, men kan modifieras till följande uttryck för zetafunktionen:

 

AnvändningRedigera

Kopplingen mellan zetafunktionen och primtalen gör att zetafunktionen fortfarande är av intresse för matematiker. Riemannhypotesen som handlar om nollställen av zeta i sin tur som skulle kunna bestämma utbredning av alla primtal, en bättre approximation av de olika aritmetiska funktioner som t.ex. primtalfunktionen π(x).

Man kan hitta ett användningsområde av denna funktion även i statistik som ”Zipfs lag” och i matematiska teorier för stämning av musik. Inom fysik utnyttjas den i kaos i klassiska och kvantmekaniska system.

Formler som innehåller zetafunktionenRedigera

 

där ψ0 är digammafunktionen.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Serier relaterade till Eulers konstant är

 
 
 
 
 

En serie för Catalans konstant är

 
 
 
 
 
 
 


 

Några serier av Adamchik och Srivastava:

 
 

och

 

där   är Bernoullitalen och   är Stirlingtalen av andra ordningen.

ÖvrigtRedigera

Man kan uttrycka det inverterade värdet av zeta-funktionen med hjälp av Möbiusfunktionen μ(n) på följande sätt:

 

för varje komplext tal s med realdel > 1.

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

NoterRedigera

  1. ^ [a b c] Numberphile (11 mars 2014). ”Riemann Hypothesis - Numberphile”. https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo. Läst 20 januari 2017. 
  2. ^ Beviset presenterades för akademin i Sankt Petersburg den 25 april 1737 enligt The Euler Archive Arkiverad 25 februari 2014 hämtat från the Wayback Machine.. Det publicerades 1844 som teorem 8 i artikeln Variae observationes circa series infinitas sid. 174-176. i Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 för år 1737 vars försättsblad finns att beskåda här. Engelsk översättning finns här (teorem 8 på sid. 9-10).

Allmänna källorRedigera

Externa länkarRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.