Hurwitzs zetafunktion är en speciell funktion som generaliserar Riemanns zetafunktion. Den är uppkallad efter Adolf Hurwitz. Då Re(s) > 1 och Re(q) > 0 är dess definition

Serierepresentation redigera

En serierepresentation för q > −1 och alla komplexa s ≠ 1 av Helmut Hasse år 1930:

 

Taylorserie redigera

Taylorserien för Hurwitzs zetafunktion är

 


Laurentserie redigera

Laurentserien för   är:

 

där   är Stieltjeskonstanterna:

 

Fourierserie redigera

 

Integralrepresentationer redigera

  och   kan Hurwitzs zetafunktion skrivas som

 

En annan integral är

 

som gäller för  .

Hurwitzs formel redigera

Hurwitzs formel är teoremet

 

där

 

är en representation som gäller för   and s > 1. Här är   polylogaritmen.

Funktionalekvation redigera

För alla   och   gäller

 


Speciella värden redigera

 
 
 
 
 
 
 

G är Catalans konstant.

Relation till andra funktioner redigera

Bernoullipolynomen redigera

Hurwitz zeta-funktion är relaterad till Bernoullipolynomen enligt

 

Jacobis thetafunktion redigera

Om   är Jacobis thetafunktion är

 

Specialfall och generaliseringar redigera

Hurwitzs zeta-funktion vid icke-negativa heltal m är relaterad till polygammafunktionen:

 

För negativa heltal −n kan Hurwitzs zetafunktion uttryckas med hjälp av Bernoullipolynomen:

 

Barnes zetafunktion är en generalisering av Hurwitzs zetafunktion.

En annan generalisering är Lerchs transcendent:

 
 

Andra generaliseringar är generaliserade hypergeometriska funktionen

  där  

samt Meijers G-funktion

 

Referenser redigera

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hurwitz zeta function, 11 oktober 2013.
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia, Hurwitzsche Zeta-Funktion, 15 november 2013.