Hurwitzs zetafunktion är en speciell funktion som generaliserar Riemanns zetafunktion . Den är uppkallad efter Adolf Hurwitz . Då Re(s ) > 1 och Re(q ) > 0 är dess definition
ζ ( s , q ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( q + n ) s . {\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{s}}}.}
Serierepresentation
redigera
En serierepresentation för q > −1 och alla komplexa s ≠ 1 av Helmut Hasse år 1930:
ζ ( s , q ) = 1 s − 1 ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( q + k ) 1 − s . {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.}
Taylorserien för Hurwitzs zetafunktion är
ζ ( s , x + y ) = ∑ k = 0 ∞ y k k ! ∂ k ∂ x k ζ ( s , x ) = ∑ k = 0 ∞ ( s + k − 1 s − 1 ) ( − y ) k ζ ( s + k , x ) . {\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).}
Laurentserien för s = 1 {\displaystyle s=1} är:
ζ ( s , q ) = 1 s − 1 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n γ n ( q ) n ! ( s − 1 ) n 0 < q ≤ 1 {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\gamma _{n}(q)}{n!}}(s-1)^{n}\qquad \qquad 0<q\leq 1} där γ n ( q ) {\displaystyle \gamma _{n}(q)} är Stieltjeskonstanterna :
γ n ( q ) := lim N → ∞ ( ∑ k = 1 N log n ( k + q ) k + q − log n + 1 ( N + q ) n + 1 ) n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \gamma _{n}(q):=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {\log ^{n}(k+q)}{k+q}}-{\frac {\log ^{n+1}(N+q)}{n+1}}\right)\qquad \quad n=0,1,2,\dots }
ζ ( s , a ) = 2 ( 2 π ) s − 1 Γ ( 1 − s ) ( sin ( π s 2 ) ∑ k = 1 ∞ cos ( 2 π a k ) k 1 − s + cos ( π s 2 ) ∑ k = 1 ∞ sin ( 2 π a k ) k 1 − s ) R e ( s ) < 1 och 0 < a ≤ 1 {\displaystyle \zeta (s,a)=2(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\left(\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(2\pi ak)}{k^{1-s}}}+\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi ak)}{k^{1-s}}}\right)\qquad \qquad \mathrm {Re} (s)<1{\text{ och }}0<a\leq 1} Integralrepresentationer
redigera
Hurwitzs formel är teoremet
ζ ( 1 − s , x ) = 1 2 s [ e − i π s / 2 β ( x ; s ) + e i π s / 2 β ( 1 − x ; s ) ] {\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]} där
β ( x ; s ) = 2 Γ ( s + 1 ) ∑ n = 1 ∞ exp ( 2 π i n x ) ( 2 π n ) s = 2 Γ ( s + 1 ) ( 2 π ) s Li s ( e 2 π i x ) {\displaystyle \beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})} är en representation som gäller för 0 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle 0\leq x\leq 1} and s > 1. Här är Li s ( z ) {\displaystyle {\text{Li}}_{s}(z)} polylogaritmen .
Funktionalekvation
redigera
För alla s {\displaystyle s} och 1 ≤ m ≤ n {\displaystyle 1\leq m\leq n} gäller
ζ ( 1 − s , m n ) = 2 Γ ( s ) ( 2 π n ) s ∑ k = 1 n cos ( π s 2 − 2 π k m n ) ζ ( s , k n ) . {\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right).}
Speciella värden
redigera
ζ ( s , − 1 ) = ζ ( s ) + 1 {\displaystyle \zeta (s,-1)=\zeta (s)+1\,}
ζ ( s , 2 ) = ζ ( s ) − 1 {\displaystyle \zeta (s,2)=\zeta (s)-1\,}
ζ ( s , 0 ) = ζ ( s , 1 ) {\displaystyle \zeta (s,0)=\zeta (s,1)\,}
ζ ( s , m n ) = 1 n ∑ k = 1 n n s ⋅ L i s ( e 2 π i k n ) e − 2 π i k m n m , n ∈ N + och m ≤ n {\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}n^{s}\cdot \mathrm {Li} _{s}\left(e^{\frac {2\pi \mathrm {i} k}{n}}\right)e^{-{\frac {2\pi \mathrm {i} km}{n}}}\qquad \qquad m,n\in \mathbb {N} ^{+}{\text{ och }}m\leq n}
ζ ( 0 , a ) = 1 2 − a {\displaystyle \zeta (0,a)={\frac {1}{2}}-a}
ζ ( 2 , 1 4 ) = π 2 + 8 G {\displaystyle \zeta (2,{\tfrac {1}{4}})=\pi ^{2}+8G}
ζ ( 2 , 1 2 + x π ) + ζ ( 2 , 1 2 − x π ) = π 2 cos 2 x {\displaystyle \zeta (2,{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {x}{\pi }})+\zeta (2,{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {x}{\pi }})={\frac {\pi ^{2}}{\cos ^{2}x}}} G är Catalans konstant .
Relation till andra funktioner
redigera
Bernoullipolynomen
redigera
Hurwitz zeta-funktion är relaterad till Bernoullipolynomen enligt
ζ ( − n , x ) = − B n + 1 ( x ) n + 1 . {\displaystyle \zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}.} Jacobis thetafunktion
redigera
Om ϑ ( z , τ ) {\displaystyle \vartheta (z,\tau )} är Jacobis thetafunktion är
∫ 0 ∞ [ ϑ ( z , i t ) − 1 ] t s / 2 d t t = π − ( 1 − s ) / 2 Γ ( 1 − s 2 ) [ ζ ( 1 − s , z ) + ζ ( 1 − s , 1 − z ) ] R e ( s ) > 0 och z ∈ C ∖ Z . {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,\mathrm {i} t)-1\right]t^{s/2}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]\qquad \qquad \mathrm {Re} (s)>0{\text{ och }}z\in \mathbb {C} \,\setminus \,\mathbb {Z} .} Specialfall och generaliseringar
redigera
Hurwitzs zeta-funktion vid icke-negativa heltal m är relaterad till polygammafunktionen :
ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ζ ( m + 1 , z ) . {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .} För negativa heltal −n kan Hurwitzs zetafunktion uttryckas med hjälp av Bernoullipolynomen:
ζ ( − n , x ) = − B n + 1 ( x ) n + 1 . {\displaystyle \zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}\ .} Barnes zetafunktion är en generalisering av Hurwitzs zetafunktion.
En annan generalisering är Lerchs transcendent :
Φ ( z , s , q ) = ∑ k = 0 ∞ z k ( k + q ) s {\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}} ζ ( s , q ) = Φ ( 1 , s , q ) . {\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).\,} Andra generaliseringar är generaliserade hypergeometriska funktionen
ζ ( s , a ) = a − s ⋅ s + 1 F s ( 1 , a 1 , a 2 , … a s ; a 1 + 1 , a 2 + 1 , … a s + 1 ; 1 ) {\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)} där a 1 = a 2 = … = a s = a och a ∉ N och s ∈ N + {\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ och }}a\notin \mathbb {N} {\text{ och }}s\in \mathbb {N} ^{+}} samt Meijers G-funktion
ζ ( s , a ) = G s + 1 , s + 1 1 , s + 1 ( − 1 | 0 , 1 − a , … , 1 − a 0 , − a , … , − a ) s ∈ N + . {\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.}