Pochhammersymbolen

Pochhammersymbolen är en speciell funktion som används inom kombinatorik och teorin för den hypergeometriska funktionen. Namnet kommer från den tyske matematikern Leo August Pochhammer.^[1]

Notation

Flera beteckningar används för pochhammersymbolen:

x^{(n)}

(speciellt inom kombinatorik)

(x,n)

,

(x)_{n}

(analys, speciella funktioner)

(x^{n})

Inom teorin för speciella funktioner avses med

(x)_{n}\,

den "stigande fakulteten"^[2]

(x)_{n}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}

,

medan denna beteckning inom kombinatoriken avser den "fallande fakulteten"^[2]

(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {x!}{(x-n)!}}

.

För att undvika sammanblandning används ofta $(x)^{n}$ för den stigande och $(x)_{n}$ för den fallande funktionen. Därutöver har ytterligare en ny beteckning införts av Ronald Graham, Donald Knuth och Oren Patashnik i boken Concrete Mathematics.

För den "stigande fakulteten" används $x^{\overline {n}}={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}$ , och för den fallande $x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}$ .

De fallande fakulteterna har inom differenskalkyl liknande egenskaper som potenser inom differentialkalkyl och kan användas för beräkning av serier.

Definition som speciell funktion

Pochhammersymbolen definieras i allmänhet med gammafunktionen:

(x,n)\equiv {\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}

För naturliga tal gäller härvid:

(m,n)\equiv m(m+1)\dots (m+n-1);\quad (m,n\in \mathbb {N} )

Egenskaper

Graf över de fyra första pochhammersymbolerna

Pochammersymbolen är en meromorf funktion
De stigande och fallande fakulteterna kan användas för att uttrycka en binomialkoefficient:

{\frac {x^{(n)}}{n!}}={x+n-1 \choose n}

och

{\frac {(x)_{n}}{n!}}={x \choose n}.

Härigenom kan många likheter som gäller för binomialkoefficienter föras över till stigande och fallande fakulteter.

En stigande fakultet kan uttryckas som en fallande som börjar "i andra änden"

x^{(n)}={(x+n-1)}_{n},

eller som en fallande fakultet med motsatt argument

x^{(n)}={(-1)}^{n}{(-x)}_{n}.

Om $n\in \mathbb {N}$ , så kan $(x,n)$ uttryckas som polynom i x. Dessa har ett gemensamt nollställe i $x=0$ .
Samband mellan koeffecienter med olika förtecken

(x,-n)=(-1)^{n}{\frac {1}{(1-x,n)}}

Divisionsregler

{\frac {x^{\overline {n}}}{x^{\overline {m}}}}=(x+m)^{\overline {n-m}};\quad n>m

{\frac {x^{\overline {n}}}{x^{\overline {m}}}}={\frac {1}{(x+m)^{\overline {m-n}}}};\quad m>n

Speciella värden

1^{\overline {n}}=n!

(1/2)^{\overline {n}}=2^{-n}(2n-1)!!

(0,0)=1

Referenser

^ L. Pochhammer: Ueber die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 102, sid. 76–159, 1888; speciellt sid. 80–81 där symbolen introduceras. Pochhammer använde beteckningarna $(x)_{n}$ för Binomialkoefficienter, $[x]_{n}$ för den "fallande fakulteten" och $[x]_{n}^{+}$ för den "stigande fakulteten".
^ [a b] I analogi med engelska "falling/rising factorials" och tyska "fallende/steigende Faktorielle/Fakultät". Vid Umeå Universitet har uttrycket "fallande produkt" använts i kursmaterial (se "Kombinatorikkompendium").

Externa länkar

Rickard Edman och Markus Östberg, 2011, Г-funktionen, En kort introduktion, C-uppsats, Örebro universitet, sid. 24-25.

[poch-1] L. Pochhammer: Ueber die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 102, sid. 76–159, 1888; speciellt sid. 80–81 där symbolen introduceras. Pochhammer använde beteckningarna $(x)_{n}$ för Binomialkoefficienter, $[x]_{n}$ för den "fallande fakulteten" och $[x]_{n}^{+}$ för den "stigande fakulteten".

[fakultet-2] [a b] I analogi med engelska "falling/rising factorials" och tyska "fallende/steigende Faktorielle/Fakultät". Vid Umeå Universitet har uttrycket "fallande produkt" använts i kursmaterial (se "Kombinatorikkompendium").

[1]

[2]