Euler–Mascheronis konstant

(Omdirigerad från Eulers konstant)
Uppslagsordet ”Eulers konstant” leder hit. För Eulers tal (e ≈ 2,71828…), se e (tal).

Euler–Mascheronis konstant (eller enbart Eulers konstant) är en matematisk konstant definierad som gränsvärdet

där Hn är det n:e harmoniska talet och ln betecknar den naturliga logaritmen. Talet, som är uppkallat efter Leonhard Euler (och ej bör förväxlas med Eulers tal e ≈ 2,71828), förekommer i många olika formler inom matematiken och har djupa kopplingar till talteori och Riemanns zetafunktion. Det är ännu inte bevisat huruvida γ är ett irrationellt tal.

HärledningRedigera

 
Fig 1. H6, summan av y=1/x för heltalsvärden av x från 1 till och med 6
 
Fig 2. ln 6, ytan under kurvan y=1/xx varierar mellan 1 och 6

Den n:e harmoniska talet ges av den trunkerade harmoniska serien

 

som kan visas divergeran går mot oändligheten. Divergensen är dock mycket långsam (mer än 1,5 · 1043 termer krävs exempelvis för att nå en summa över 100). I själva verket växer Hn med ungefär samma hastighet som ln n, vilket kan förstås genom att tolka den naturliga logaritmen som ytan under grafen till y = 1/x,

 

(figurerna 1 och 2 ger en visuell jämförelse). Funktionerna är dock inte exakt lika, och Leonhard Euler visade att differensen då n går mot oändligheten är en konstant mellan 0 och 1. Euler kallade talet C, beräknade dess värde med sex decimalers noggrannhet, och publicerade år 1735 resultatet i avhandlingen De Progressionibus harmonicus observationes.

Numeriskt värdeRedigera

Värdet på Euler–Mascheronis konstant kan i praktiken inte beräknas direkt utifrån Eulers gränsvärde, eftersom konvergensen är långsam. Exempelvis är

 
 
 
 

Euler härledde i stället formeln

 

och kunde med dess hjälp ge uppskattningen C ≈ 0,577218.

Konvergensen i Eulers gränsvärde kan förbättras genom att ta med en grov uppskattning av felet i beräkningen. En sådan uppskattning är

 

med vars hjälp n = 10 ger två korrekta decimaler. Termen −1/2n är i själva verket den första i en serie som ger ännu bättre uppskattningar. Genom att tillämpa Euler-Maclaurins formel på funktionen y = 1/x fås

 

där B2k är ett Bernoullital, med de första termerna utskrivna:

 

Detta är en asymptotisk serie som divergerar för varje n men vars fel vid lämplig trunkering går mot 0 då n → ∞. Euler valde n = 10 och beräknade serien till och med n14-termen, vilket gav uppskattningen 0,577 215 664 901 532 5, med 16 korrekta decimaler.

Lorenzo Mascheroni använde år 1790 Eulers metod för att beräkna 32 decimaler, som han publicerade i avhandlingen Adnotationes ad calculum integrale Euleri. Dessvärre erhöll Johann von Soldner år 1809, vid en beräkning av de 24 första decimalerna, ett värde som skilde sig från Mascheronis efter den 19:e decimalen. En ny räkning med 40 decimalers noggrannhet, genomförd 1812 av det 19-åriga räknegeniet F G B Nicolai (1793–1846) på Carl Friedrich Gauss anmodan, visade överensstämmelse med Soldners. Mascheronis felräkning ledde till minst åtta oberoende omräkningar för att bekräfta Soldners resultat, och under flera år cirkulerade båda värdena till stor förvirring. På grund av detta missöde, och att Mascheroni i sin avhandling infört beteckningen γ, kallas talet ibland Euler–Mascheronis konstant.

Numerisk representationRedigera

De första 250 siffrorna i γ:s decimalutveckling är

0,
57721566490153286060651209008240243104215933593992
35988057672348848677267776646709369470632917467495
14631447249807082480960504014486542836224173997644
92353625350033374293733773767394279259525824709491
60087352039481656708532331517766115286211995015080.

Talet har kedjebråksframställningen

[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, ...]

som ger upphov till de rationella närmevärdena

 

Samband med speciella funktionerRedigera

GammafunktionenRedigera

Euler–Mascheronis konstant är relaterad till gammafunktionen via Weierstrassprodukten

 

och uppträder i Maclaurinserien för den reciproka gammafunktionen,

 

Den kan också beräknas som en derivata av gammafunktionen,

 

eller via gränsvärdet

 

Andra gränsvärden är

 
 
 
 

Riemanns zetafunktionRedigera

Kopplingen till Riemanns zetafunktion framgår exempelvis av

 

Andra serier som innehåller zetafunktionen är

 
  0,0173192269903….
 

Ett intressant gränsvärde är

 

En annan formel är

 

där ζ(s,k) är Hurwitzs zetafunktion.

IntegralerRedigera

Det finns ett stort antal integraler som är lika med Euler–Mascheronis konstant:

 

Integraler som resulterar i mer komplicerade konstanter är

 
 

En dubbelintegral för gamma är

 

Det är intressant att notera att

 

En integral av Catalan är

 

Oändliga serierRedigera

En oändlig serie av Euler är

 

Andra oändliga serier är

 

Andra serier av Vacca är

 
 

En annan formel är

 

Oändliga produkterRedigera

Några oändliga produkter som innehåller Euler–Mascheronis konstant är

 
 
 

Övriga formlerRedigera

En formel av de la Vallée-Poussin

 

GeneraliseringarRedigera

Genom att i stället för den harmoniska serien välja den harmoniska primtalsserien, och dess asymptot ln ln, fås Meissel–Mertens konstant

 

Gränsvärdet för Euler–Mascheronis konstant kan generaliseras till

 

där f är en godtycklig positiv, avtagande funktion. Funktionen

 

ger exempelvis upphov till Stieltjes konstanter, varav Euler–Mascheronis konstant är den nollte. Funktionen

 

ger vidare

 

Speciellt gäller gränsvärdet

 

för Euler–Mascheronis konstant.

Ytterligare en generalisering är Masser–Gramains konstant, som uppkommer genom ett liknande gränsvärde men i det komplexa talplanet i stället för längs den reella tallinjen.

Euler–Lehmers konstanter definieras som

 

Deras enklaste egenskaper är

 
 
 

och om gcd(a,q) = d,

 

TalteoriRedigera

Euler–Mascheronis konstant förekommer i ett stort antal formler inom talteori, såsom

 

En olikhet för Eulers fi-funktion är

 .

Euler–Mascheronis konstant har djupa konnektioner med primtal:

 

ReferenserRedigera

  • Havil, Julian (2003). Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton University Press. ISBN 0-691-09983-9.
  • Dunham, William (1999). Euler, The Master of Us All (Dolciani Mathematical Expositions, No 22). The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-328-0.