Glaisher–Kinkelins konstant är en matematisk konstant som förekommer i ett antal oändliga produkter och integraler relaterade till flera speciella funktioner. Den är uppkallad efter matematikerna James Whitbread Lee Glaisher och Hermann Kinkelin.
Glaisher–Kinkelins konstant kan definieras som
![{\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e50bf48141114ffd3c30e4714d059513feac82e)
där
är K-funktionen. En ekvivalent definition är
![{\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {(2\pi )^{n/2}n^{n^{2}/2-1/12}e^{-3n^{2}/4+1/12}}{G(n+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce61e61c40b67fb4450e9c4d06a89e8f22b0218f)
där
är Barnes G-funktion.
Dess approximativa värde är
.
Glaisher-Kinkelins konstant förekommer även i specifika värden av Riemanns zetafunktion:
![{\displaystyle \zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{12}}-\ln A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fae7ceb3a492ac66c62e55b8d3ff8fd4fe42169)
![{\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}=-\zeta ^{\prime }(2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\left[12\ln A-\gamma -\ln(2\pi )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7bbe57192497c8033649860db6dd44ac2676f06)
där
är Eulers konstant. Några integraler innehållande den är
![{\displaystyle \int _{0}^{1/2}\ln \Gamma (x)dx={\frac {3}{2}}\ln A+{\frac {5}{24}}\ln 2+{\frac {1}{4}}\ln \pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657496f3a39cca139fb6073ff50f1e0473b37358)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}dx={\frac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{2}}\ln A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5950b48c87f68835e1d5ee95165643567f463d73)
En oändlig serie för den är
.