Riemanns xi-funktion

Inom matematiken är Riemanns xi-funktion, uppkallad efter Bernhard Riemann, en variant av den mer kända Riemanns zetafunktion.

Riemanns xi-funktion $\xi (s)$ i det komplexa planet. Färgen på en punkt $s$ kodar värdet av funktionen. Mörkare färger anger värden närmare noll och nyans anger värdets argument.

Definition

Riemanns xi-funktion definieras som

$\xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)$

för $s\in \mathbb {C}$ och där ζ(s) är Riemanns zetafunktion. Funktionalekvationen för xi är

$\xi (1-s)=\xi (s).$

Speciella värden

För positiva heltal n är

$\xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {1}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n^{2}-n)(n-1)!$

där B_n är det n-te Bernoullitalet. Exempelvis är

$\xi (2)={\pi \over 6}.$

Några andra speciella värden är

$\xi (0)=\xi (1)=-\zeta (0)={\frac {1}{2}}$

$\xi (1/2)=-\zeta (1/2)\cdot {\frac {\Gamma (1/4)}{8\pi ^{\frac {1}{4}}}}=0,4971207781...$ (talföljd A114720 i OEIS)

$\xi (3)={\frac {3}{2\pi }}\,\zeta (3)$

$\xi (5)={\frac {15}{2\pi ^{2}}}\,\zeta (5).$

Serierepresentation

Xi-funktionen har serierepresentationen

${\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}$

där

$\lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]$

där summan går över de icke-triviala rötterna ρ av zetafunktionen, ordnade enligt $|\Im (\rho )|$.

Denna expansion har en viktig roll i Lis kriterium som säger att Riemannhypotesen är ekvivalent med att λ_n > 0 för alla positiva n.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Riemann Xi function, 17 december 2013.

• Weisstein, Eric W., "Xi-Function", MathWorld. (engelska)
• Keiper, J.B. (1992). ”Power series expansions of Riemann's xi function”. Mathematics of Computation 58 (198): sid. 765–773. doi:10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5.