Tb-satsen är en matematisk sats som säger att en viss singulär integraloperator, T, är en begränsad operator om och endast om man kan definiera T för en vissa funktion och man kan definiera T:s transponat T* för en viss funktion . Satsen säger då att man måste testa operatorn T och transponatet T* för endast dessatvå funktioner och .

Guy David, Jean-Lin Journé och Stephen Semmes bevisade Tb-satsen 1985.

Bakgrund

redigera

En linjär operator T som opererar på mätbara funktioner i   är en integraloperator om det finns en kärna   så att man kan formulera

 

för en funktion f och alla  . Tyvärr är ofta den här formeln inte definierad för alla funktioner och inte heller för alla punkter. De här operatorerna kallas singulära. Mer precist, en integraloperator T är en singulär integraloperator om kärnan K inte är definierad inom diagonalen

 

och Tf(x) är definierad bara när

 ,

dvs Tf(x) är inte definierad i funktionens f underlag.

Den intressanta frågan är: hur kan vi definiera en singulär integraloperator så att den är en begränsad operator   där   är  -rummet för  ?

Hilberttransform

redigera

Till exempel, låt  , dvs underlaget för f är en kompakt mängd och f är  . Definiera

 

för  , dvs   är Hilberttransformen. Då blir kärnan

 .

Hilberttransformen är en singulär integraloperator eftersom kärnan har en singulär punkt när  . Man kan också definiera Hilbertransformen för Lp-funktioner eftersom   är en tät delmängd i  .

Dessutom, med detta kan man visa att det finns   så att om   så är

 .

Därför är H en begränsad operator  .

Kan man även visa detta för generella singulära integraloperatorer? Tb-satsen förklarar att det går.

Antaganden

redigera

Inom Tb-satsen behövs några antaganden om testfunktionerna   och  , kärnan K och operatoren T.

Para-akkretivt antagande för testfunktionen

redigera

Låt   vara en lokalt integrebar funktion. Man sägar att b är en para-akkretiv funktion om det finns   så att

 

för alla kuber   där integralen är Lebesgueintegralen och |Q| är kubens Q:s Lebesguemått.

Standardvillkor för kärnan

redigera

En kärna   är en Calderón-Zygmund kärna om det uppfyller standardvillkoren:

  • Begränsadvillkor: det finns   så att
 
för alla  .
  • Tillväxtvillkor: det finns   och   så att
 
för alla  .

Svagt begränsat-villkor för operatorer

redigera

Låt   vara para-akkretiva funktioner. En linjär operator T är  -svagt begränsat om det finns   så att

 

för alla kuber  .

Begränsad med mellansvängning (rummet BMO)

redigera

Man behöver också funktioner som är begränsade med mellansvängning. En lokalt integrebar funktion   är begränsad med mellansvängning (eng. Bounded with Mean Oscillation) om det finns   så att

 

för alla kuber  . Om en funktion   är begränsad med mellansvängning skriver man

 

Tb-satsen

redigera

Låt   vara para-akkretiva funktioner, dessa kallas testfunktioner. Låt   vara en integraloperator som har en Calderón-Zygmund kärna. Antag att   är definierad för   och dessutom  :s transponat   är definierad för  .

Då är   en begränsad operator   om och endast om

  •   är  -svagt begränsad,
  •   och
  •  

Skiss av bevis

redigera

Idén är att första prova Tb-satsen så att vi har en begränsad operator  . Det här är den kritiska andelen för det här provet. Nämligen, när vi har   det är lätt att prova   för fixt   eftersom vi kan interpolera med Cotlars olikheten för   och sedan använda dualhetet för  .

Nuförtiden finns många olika bevis för  . En prov är att vi använder dyadisk kuber:

Om   så är   en dyadisk kub med ordning k, om där finns   så att

 

Vi betecknar   av familj av alla dyadisk kuber med ordning k i   och

 

För varje   dyadiska kuber med ordning k är en stratifiering av   och vi har:

 

Vi har en begränsad operator   om och endast om vi kan bevisa att

 

för alla  . Eftersom   är en Hilbertrummet med inre produkten

 

så man kan använda inom funktionalanalys så att

 

Därför, vi måste använda att

 

för alla   och  

För   och en para-akkretiv funktion   definiera sannolikhetsteoretiska begrepper "väntevärder" och "spridninger":

  • k-väntevärde:  
  • k-spridning:  
  • b-viktad k-väntevärde:  
  • b-viktad k-spridning:  

Med Carlesons inbäddningsats vi kan visa att

 

för   med konvergens[särskiljning behövs] vid  -norm. Med svagt begränsat-villkor och standardvillkor man kan visa att för   med   vi har

 

Å andra sidan för en para-akkretiv funktion b, en dyadisk kub  ,  , var  , och   definirar vi en Haarfunktion   så att

 
  • Med Haarfunktioner man kan använda b-viktad k-väntevärder och -spridningar så att man har:
 
 
  • Förra är symmetrisk med  , dvs man har:
 

Därför vi har med triangelolikheten att

 ,

dvs Tb-satsen.

Tillämpningar

redigera
  • Hilberttransformen  
  ,

är en begränsad operator   eftersom man kan testa Hilbertransformen med para-akkretiva testfunktioner

 
 ,

är en begränsad operator   eftersom man kan testa Cauchytransformen med para-akkretiva testfunktioner

 

Här   är en Lipschitzfunktion vilket ger att derivatan   finns nästan överallt.

Se även

redigera

Referenser

redigera
  • Guy David, Jean-Lin Journé, Stephen Semmes, Opérateurs de Calderón-Zygmund, fonctions para-accrétives et interpolation, Rev. Mat. Iberoamericana 1(4): 1 - 56, 1985.