Lipschitzkontinuitet är ett villkor inom matematisk analys utvecklat av och namngett efter den tyske matematikern Rudolf Otto Sigismund Lipschitz. Grafiskt kan villkoret ses som ett ”mjukhetsvillkor” för funktioner, där funktionens lutning måste vara begränsad i alla punkter för att uppfylla villkoret.

Bild av en Lipschitzkontinuerlig funktion som innesluts av två koner. Eftersom det går att placera konernas skärningspunkt var som helst på funktionen utan att någon del av funktionen hamnar i det vita området, är den Lipschitzkontinuerlig.
Funktionen på intervallet [0,1] är inte Lipschitzkontinuerlig eftersom lutningen är obegränsad när x närmar sig 0.

Begreppet Lipschitz-kontinuitet ligger mellan begreppen kontinuitet och deriverbarhet. En deriverbar funktion är alltid Lipschitzkontinuerlig, och en Lipschitzkontinuerlig funktion är alltid kontinuerlig. Dock gäller inte omvändningen. En kontinuerlig funktion behöver inte vara Lipschitzkontinuerlig, samtidigt som en Lipschitzkontinuerlig funktion inte behöver vara deriverbar.

DefinitionerRedigera

Givet två metriska rum   och  , där   är avståndsfunktionen för mängden   och   avståndsfunktionen för  , kallas en funktion   Lipschitzkontinuerlig om det existerar en reell konstant   sådan att för alla  ,

 .

Lipschitzkontinuitet i en variabelRedigera

Funktionen   är Lipschitzkontinuerlig på intervallet   om det finns en lipschitzkonstant   sådan att för alla för alla   så gäller  .

Lipschitzkontinuitet i flera variablerRedigera

Funktionen   är Lipschitzkontinuerlig på mängden   om det finns en lipschitzkonstant   sådan att för alla   så gäller  

Lokal LipschitzkontinuitetRedigera

En funktion   sägs vara lokalt Lipschitzkontinuerlig i en punkt   om och endast om det finns någon omgivning kring punkten   där funktionen   är Lipschitzkontinuerlig.

EgenskaperRedigera

Att en funktion är Lipschitzkontinuerlig betyder att dess lutning måste vara begränsad. För en variabel kan man grafiskt tänka sig att en Lipschitzkontinuerlig funktion f kan inneslutas i två koner med axlarna längs x-axeln, vars toppar ligger i en gemensam punkt   på funktionen   (se bilden). Ifall det för varje punkt på   finns ett  , där   är lutningen på konernas sidor, så att   är helt innesluten av konen, så har vi en lokalt Lipschitzkontinuerlig funktion. Om det dessutom finns ett och samma k för alla punkter på funktionen som gör att   alltid ligger inom konen, så kan vi säga att   är globalt Lipschitzkontinuerlig.

Då en funktion har en Lipschitzkonstant 0 < k < 1 sägs funktionen vara en sammandragning.

Villkoret för Lipschitzkontinuitet används i Picards sats, som nyttjas för att avgöra existensen för lösningar till differentialekvationer med begynnelsevärden.

Samband mellan kontinuitet, Lipschitzkontinuitet samt deriverbarhetRedigera

Lipschitzkontinuitet och deriverbarhetRedigera

 
  är Lipschitzkontinuerlig överallt, men inte deriverbar i x=0.
  • En funktion   som är deriverbar är också lokalt Lipschitz-kontinuerlig. Då derivatan av   är begränsad, är   även globalt Lipschitzkontinuerlig.

Enligt definitionen av riktningsderivata kan riktningsderivatan av funktionen   skrivas som

 

Omskrivning ger

 

Detta medför att   är lokalt Lipschitzkontinuerlig för alla punkter på definitionsmängden, eftersom det finns en omgivning kring varje punkt   där

 

Detta innebär dock inte att   är globalt Lipschitzkontinuerlig, eftersom   inte behöver vara obegränsad överallt även om den existerar. Ett exempel är funktionen  , vars derivata existerar på hela definitionsmängden och därför är lokalt Lipschitzkontinuerlig överallt, men som däremot inte är globalt Lipschitzkontinuerlig eftersom   .

Men då   är begränsad på hela definitionsmängden kan man se att

 

vilket är ekvivalent med att   är globalt Lipschitzkontinuerlig.

  • Att en funktion är Lipschitzkontinuerlig medför inte att den samtidigt är deriverbar.

Detta visas enklast genom ett exempel på en funktion som är Lipschitzkontinuerlig men inte deriverbar. Ett sådant exempel är  . I punkten   saknas derivata, men funktionen är fortfarande Lipschitzkontinuerlig, eftersom funktionen är kontinuerlig och dess lutning är begränsad.

Lokal och global LipschitzkontinuitetRedigera

  • En funktion som är globalt Lipschitzkontinuerlig är även lokalt Lipschitzkontinuerlig i alla punkter. Däremot gäller i allmänhet inte det omvända.

Detta samband kan utläsas direkt ur definitionerna. För en globalt Lipschitzkontinuerlig funktion gäller att för alla punkter   på funktionen så är lutningen till alla punkter   på funktionen begränsad. Därav följer även att det finns någon omgivning kring alla punkter   där lutningen mellan punkten   och alla punkter i den omgivningen är begränsad.

Funktionen   är ett exempel på en funktion som är lokalt Lipschitzkontinuerlig, men inte globalt. Kring varje enskild punkt   kan vi hitta en omgivning där lutningen är begränsad, vilket medför att   är lokalt Lipschitzkontinuerlig för alla  . Däremot kommer lutningen att växa oändligt för stora positiva och negativa  . Därför finns ingen Lipschitzkonstant k så att   för alla  , och funktionen är därför inte globalt Lipschitzkontinuerlig.

Kontinuitet och LipschitzkontinuitetRedigera

För en Lipschitzkontinuerlig funktion   gäller enligt definitionen att

 

detta uttryck ska gälla för alla   och   där   och   ligger i definitionsmängden, vilket ger att det även gäller då   går mot 0.

  går mot 0 får vi direkt

 

vilket är definitionen för kontinuitet.

  • Att en funktion är kontinuerlig medför inte att den även är Lipschitzkontinuerlig

Detta visas enklast genom att hitta en kontinuerlig funktion som inte är Lipschitzkontinuerlig. Ett exempel på detta är  . Derivatan till denna funktion existerar i alla punkter utom  . Däremot är  , vilket medför att   är kontinuerlig.

Då vi låter   kommer vi få att  . Det saknas alltså en omgivning kring punkten   där vi har en begränsad lutning på funktionen  , vilket innebär att funktionen inte är lokalt Lipschitzkontinuerlig, och därmed inte heller globalt Lipschitzkontinuerlig.

KällorRedigera

Se ävenRedigera