Ett -rum är ett funktionsrum inom matematik. -rummet består av funktioner som är p-integrerbara. Man behöver -rummet till exempel inom måtteori och funktionalanalys.

Formell definitionRedigera

 -rummet är en måtteoretisk konstruktion och man kan bara definiera det för måttrum.

Låt   och   vara ett måttrum så att måttet µ är ett fullständigt mått. Man behöver fullständighet här eftersom man vill integrera alla delmängder för en nollmängd.

För mätbara funktioner   definierar man  -normen

 ,

dvs  -normen är en p-rot av måttintegralen för funktionen  . För   definieras  -normen:

 ,

där ess sup är väsentligt supremum.

 -normen, med  , är inte en norm för alla mätbara funktioner. Men man kan definiera ett rum där det är en norm.  -rummet, för ett fixt p, är mängden:

 .

 -rummet är ett vektorrum. Eftersom man har definierat  -rummet utifrån en måttstruktur så är  -normen bara en seminorm, dvs

 

och

 

för   och   men det finns måttrum och funktioner där

  men  

gäller, exempelvis om man tar den vanliga måttstrukturen på de reella talen, med Borelalgebran som sigma-algebra och Lebesguemåttet som mått, då   är ett exempel på en funktion som är nollskild men har en norm som är noll. Detta visar att  -normen inte är en norm på detta rum.

För att få en riktig norm definierar man en ekvivalensrelation i   genom att

  om och endast om  

och definiera  -normen för ekvivalensklasser

 

där   är ekvivalensklassen med representant f:

 

Kvotrummet   med  -normen kallas för  -rummet. I rummet   identifieras funktioner f och g vars skillnad f - g har en norm som är noll. Exempelvis, från exemplet ovan, identifieras   med funktionen g = 0.

-rumRedigera

Som ett specialfall av  -rum kan man få de så kallade  -rummen. Om X är uppräknelig och måttet µ är räknemåttet betecknas

 ,

så att för  

 

dvs,   kan ses som alla följder i X så att summan av termerna upphöjt till p konvergerar.

Man får också:

 

dvs,  -rummet är rummet av alla begränsade följder.

EgenskaperRedigera

Nedan finns några egenskaper för  -rummen och normerna.

OlikheterRedigera

Hölders olikhet: om   och   med

 ,

och   och   så är

 .

Om   och   så är

 .

Talen p och q kallas för Hölderkonjugat.

Minkowskis olikhet: Man kallar ofta triangelolikheten

 

när   för Minkowskis olikhet.

DualrummetRedigera

Om p och q är Hölderkonjugat så är  :s dualrummet   isomorf till  , dvs

 .

Därför säger man ofta att  :s dualrum är  .

Notera att det finns måttrum där   inte är isomorf med  .

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.