Öppna huvudmenyn

En mätbar funktion är inom matematiken en speciell sorts funktion mellan mätbara rum som bevarar mätbarheten.

Formell definitionRedigera

 
För en mätbar funktion är den inversa bilden av en mätbar mängd också mätbar.

Låt   och   vara mätbara rum.

En funktion   är mätbar om

 

för alla  .

Man kan också säga att en funktion är  -mätbar eller  -mätbar.

Notera att man inte behöver ha något mått definierat på rummen för att avgöra om en funktion är mätbar.

Lebesguemätbar funktionRedigera

Om   kan man också säga att en mätbar funktion är Lebesguemätbar.

BorelfunktionRedigera

Låt

 

Om X är ett topologiskt rum,   och   så kallas en mätbar funktion

 

för Borelfunktion.

Eftersom Borelmängder är genererad av öppna mängder kan man bevisa att en funktion   är en Borelfunktion om och endast om

 ,   och   .

är Borelmängder för alla öppna mängder  

Alternativt, en funktion   är en Borelfunktion om och endast om

 

är Borelmängder för alla  .

ExempelRedigera

Alla kontinuerliga funktioner i   är Lebesguemätbara och Borelfunktioner.

Se ävenRedigera

 
Den här artikeln ingår i boken: 
Måtteori 

KällorRedigera

  • G.B. Folland, Real analysis: Modern techniques and their applications, Second edition, Wiley interscience, (1999)
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.