Modus tollens

Modus tollens (latin: metod för förnekande) är en förkortad form av modus tollendo tollens, som är en slutledningsregel inom logiken. Regeln kan formellt skrivas:

Satslogiska slutledningsregler
Modus ponendo ponens Modus tollendo tollens Modus tollendo ponens Deduktionsteoremet Reductio ad absurdum Och-eliminering Och-introducering Eller-eliminering Eller-introducering HS-regeln
Predikatlogiska slutledningsregler
Universell generalisering Existentiell generalisering Universell specifikation Existentiell specifikation
Andra slutledningsregler
Dilemma

${\frac {P\to Q,\neg Q}{\therefore \neg P}}$

vilket betyder att av två premisser, där den ena är en materiell implikation och den andra är negationen av implikationens andra led, följer negationen av implikationens första led.

Från premissena P→Q och $\neg$Q kan således slutsatsen $\neg$P dras.

Regeln är relaterad till egenskapen kontraposition av den materiella implikationen, det vill säga att A → B är ekvivalent med ¬B → ¬A, vilken senare sats tillsammans med $\neg$B och slutledningsregeln modus ponens ger $\neg$A.

Exempel: Från "Om min klocka går rätt, så är tåget försenat" och "Tåget är inte försenat" kan man dra slutsatsen "Min klocka går inte rätt".

Formellt kan regeln även skrivas:

$P\to Q,\neg Q\vdash \neg P$, där $\vdash$ betyder satslogisk konsekvens.

Regeln uttryckt som en tautologi eller som ett teorem i satslogiken skrivs:

$((P\to Q)\land \neg Q)\to \neg P$

Inom predikatlogik finns följande formulering:

${\begin{array}{ccc}&\forall x:&P(x)\rightarrow Q(x)\\&\exists x:&\neg Q(x)\\\therefore &\exists x:&\neg P(x)\end{array}}$

Vilket kan utläsas: Allt som uppfyller P uppfyller Q. Det finns ett x som inte uppfyller Q. Alltså finns ett x som inte uppfyller P.

I mängdlära kan det uttryckas som:

${\begin{array}{cc}&P\subseteq Q\\&x\notin Q\\\therefore &x\notin P\end{array}}$

det vill säga, P är en delmängd till Q. x är inte ett element i Q. Alltså är x inte ett element i P.

Källor

• Elliott Mendelson, Elementary Logic, Oxford University Press, London 1965.
• Konrad Marc-Wogau, Modern Logik, Bonniers 1950.
• Geoffrey Hunter, Metalogic. An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan, London 1971.
• Göran Hermerén, Logik, Studentlitteratur, Lund 1967.