Teorem
| Matematiska begrepp |
|---|
Ett teorem (av grekiska θεωρέω, theoreo, "betrakta", "skåda") är ett vetenskapligt påstående eller en sats som kan bevisas, inom matematik, logik eller liknande system.[1]
| Härledningsbegrepp |
|---|
| Närliggande begrepp |
Inom matematiken syftar begreppet teorem vanligtvis på en viktigare slutsats eller ett huvudresultat inom en viss teori.[2] Om teorin är axiomatiskt uppbyggd följer teoremet logiskt från teorins axiom. I ett formaliserat system kallas varje slutsats, som kan härledas från axiomen och med hjälp av systemets slutledningsregler, för ett teorem.[3][4]
Teorem i formella systemRedigera
En formel A, är ett teorem i ett formellt system om det finns ett bevis i systemet vars sista formel är A. Ett bevis för formeln finns, om den kan härledas enbart från systemets axiom med hjälp av systemets slutledningsregler.
Med på formeln A här ställda villkor kallas den, av tradition, även för en sats i betydelsen härledd sats, vilket är ett mer generellt och svagare begrepp än teorem. I allmänhet gäller att ett teorem är en härledd sats, men omvändningen gäller inte. En härledd sats är alltså inte nödvändigtvis ett teorem.
Inom satslogiken gäller, att en formel A i det satslogiska språket P är ett teorem i det satslogiska systemet PS om och endast om A är en tautologi i P[5], vilket med symboler kan uttryckas som: är ekvivalent med .
I den formella teorin för exempelvis geometrin eller aritmetiken, finns ett antal axiom. Definitionsmässigt betraktas axiomen i ett system som teorem, men det omvända gäller inte. Mängden av alla teorem bildar en teori. Ibland kallar man istället mängden av axiom för teorin.
Ett system är konsistent om en formel och dess negation inte båda är teorem. Om varje formel som tolkas som ett sant påstående är ett teorem, kallas systemet fullständigt. Ett system där varje teorem är sant i en given tolkning kallas sunt med avseende på tolkningen. Ett system där varje teorem är sant i varje möjlig tolkning kallas ett sunt system.
Se ävenRedigera
KällorRedigera
- ^ Geoffrey Hunter, Metalogic, An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan, London 1971.
- ^ NE, s. 173
- ^ Konrad Marc-Wogau, Modern logik, Bonniers 1950
- ^ Lübcke 1988, s. 543.
- ^ Geoffrey Hunter, Metalogic, An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan, London 1971, sid. 118-119.
- Bengt Hansson, Göran Herméren, Logik II, Studentlitteratur. Lund 1970.
- Konrad Marc-Wogau, Modern Logik, Bonniers 1950.
- Geoffrey Hunter, Metalogic, An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan, London 1971.
- Nationalencyklopedin. Höganäs: Bra Böcker. 1995
- Lübcke, Poul, red (1988). Filosofilexikonet. Stockholm. ISBN 91-37-10062-9