Ekvivalens (logik)

Materiell ekvivalens och logisk ekvivalens är grundläggande ekvivalensrelationer i den klassiska logiken.

Logisk operator (Logisk grind)
Negation (NOT) Konjunktion (AND, NAND) Disjunktion (OR, XOR, NOR) Implikation Ekvivalens (XNOR)
Se även
Logisk operator (konnektiv) Sanningsfunktion Sanningsvärdetabell De Morgans lagar

Satserna S₁ och S₂ sägs vara materiellt ekvivalenta om satserna har samma sanningsvärde, det vill säga att antingen båda är sanna eller båda är falska. Förhållandet symboliseras med S₁ ↔ S₂ och kan exemplifieras med satsen p→q ↔ ~q→~p, vilken är en tautologi.

Satserna S₁ och S₂ sägs vara logiskt ekvivalenta om "S₁ ↔ S₂" är en logisk sanning, som exempelvis satsen S₃: "x = y ↔ y = x".

Eftersom alla tautologier är logiska sanningar så är två satser, som är materiellt ekvivalenta även logiskt ekvivalenta. Alla logiska sanningar är dock inte tautologier. Exempelvis är satsen "x = x" och satsen S₃ ovan logiska sanningar men inte tautologier.

Tabell över logiska ekvivalenser

Ekvivalenser	Benämning
$p\wedge {\textbf {S}}\equiv p$ $p\vee {\textbf {F}}\equiv p$	Identitetslagar
$p\vee {\textbf {S}}\equiv {\textbf {S}}$ $p\wedge {\textbf {F}}\equiv {\textbf {F}}$	Dominanslagar
$p\vee p\equiv p$ $p\wedge p\equiv p$	Idempotenta lagar
$\neg (\neg p)\equiv p$	Dubbel negationslag
$p\vee q\equiv q\vee p$ $p\wedge q\equiv q\wedge p$	Kommunativa lagar
$(p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)$ $(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$	Associativa lagar
$p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$ $p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$	Distributiva lagar
$\neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$ $\neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q$	De Morgans lagar
$p\vee (p\wedge q)\equiv p$ $p\wedge (p\vee q)\equiv p$	Absorbativa lagar
$p\vee \neg p\equiv {\textbf {S}}$ $p\wedge \neg p\equiv {\textbf {F}}$	Negationslagar

där S = sann och F = falsk.

Exempel

Satserna nedan är kontrapositionerade, det vill säga av typen p → q respektive ~q → ~p och är enligt ovan materiellt ekvivalenta och således logiskt ekvivalenta.

1. Om min klocka går rätt så är tåget försenat.
2. Om tåget inte är försenat så går min klocka inte rätt.

Ekvivalensen mellan kontrapositionerade satser är en tautologi, oberoende av satsernas betydelse eller kausala samband.

Materiell ekvivalens

Materiell ekvivalens. A respektive B är antingen båda sanna eller båda falska

Materiell ekvivalens är den klassiska logikens representation av den språkliga betydelsen "p om och endast om q", som skrivs p ↔ q och har sanningstabellen

p	q	p ↔ q
S	S	S
S	F	F
F	S	F
F	F	S

där S står för sant och F för falskt.

Ekvivalensen är således sann endast om p och q båda är sanna eller båda falska.

En ekvivalens kan sägas utgöra en "dubbel implikation", det vill säga att p ↔ q har samma betydelse som satserna p → q och q → p tillsammans:

p	q	p → q	q → p	(p → q) ∧ (q → p)
S	S	S	S	S
S	F	F	S	F
F	S	S	F	F
F	F	S	S	S

Inom matematiken används vanligen en dubbelskriven pil $\Leftrightarrow$, för att beteckna ekvivalens. Exempel: x² = 1 ⇔ x = 1 eller x = -1.

Tekniska lösningar

I elektriska kretsar, pneumatik, hydraulik, mekanik etc kan funktioner som motsvarar ekvivalens realiseras.

Trappomkastare

En trappomkastare realiserar funktionen materiell ekvivalens.

Se även

• Deduktionsteoremet
• XNOR
• Satslogik
• Tautologi (logik)
• Teorem
• Reductio ad absurdum
• Predikatlogik
• Nödvändiga och tillräckliga villkor

Källor

• Geoffrey Hunter, Metalogic. An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic. MacMillan 1971.
• Georg Henrik von Wright, Logik, filosofi och språk, Berlingske 1957.
• Howard Kahane, Logic and Philosophy, A Modern Introduction, Wadsworth Publishing Company, Belmont California, 1969.
• Göran Hermerén, Logik, Studentlitteratur, Håkan Ohlssons Boktryckeri Lund 1967.