Ett komplext vektorrum har många likheter med det "vanliga" reella vektorrummet. Den största skillnaden är att skalärerna är komplexa tal. Vanliga beteckningar för reella vektorrum är medan komplexa vektorrum ofta betecknas med . Fortfarande bygger det komplexa vektorrummet på linjära strukturer med addition och multiplikation likt det reella fast med några få skillnader.

samt att

.

Som vi ser tillåts konstanten vara ett komplext tal.

Definition

redigera

Med hjälp av addition och multiplikation definieras ett komplext vektorrum   av följande:[1]

  1.   gäller att  
  2.   gäller att  
  3.   sådant att   gäller att  
  4.   sådant att  
  5.   gäller att  
  6.   och   gäller att  
  7.   och   gäller att  
  8.   och   gäller att  
  9.   och   gäller att  
  10.   gäller att  

Komplexa underrum definieras på samma sätt som reella underum.

Skalärprodukt

redigera

Definitionen av skalärprodukt i ett komplext vektorrum är likt den för reella vektorrum.[2] Om

 

så är

 

där

 

är komplexkonjugatet till

 

Notera att om   och   skulle tillhöra   är definitionen av skalärprodukt den samma som för reella vektorrum, ty komplexkonjugatet förändras inte om imaginärdelen av det komplexa talet är noll.

Egenskaper för skalärprodukt

redigera

Låt   och   vara vektorer i   och   vara ett komplext tal. Då gäller följande egenskaper för skalärprodukt:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Definitionen och egenskaperna ovan är den vanligaste definition för skalärprodukt i ett komplext vektorrum. Men den kan bli mer generell genom några få symboländringar och kallas då komplex inre produkt. Ett komplext vektorrum med en komplex inre produkt kallas komplext inre produktrum eller unitärt rum.

Vektorlängd

redigera

Definitionen av längden (eller normen) av en vektor i ett komplext rum är samma som för ett reellt rum.

 

Notera att   kan med hjälp av konjugatregeln skrivas som

 

Därmed har vi visat egenskap nummer 5 ovan.

Matriser

redigera

Avbildningar i komplexa vektorrum kan likt avbildningar i reella vektorrum beskrivas av matriser, till exempel som

 

I reella vektorrum är ortogonala och symmetriska matriser väsentliga. I komplexa vektorrum finns motsvarande matriser. Dessa kallas unitära respektive hermiteska matriser.[3]

Unitär matris

redigera

En komplex matris   kallas unitär om

  där  

det vill säga, A är lika med sitt komplexkonjugerade transponat.

Om   är komplexa matriser och   är ett komplext tal gäller

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Vidare gäller att

en n   n matris A är unitär   A:s radvektorer (eller kolonnvektorer) är en ortogonal bas i  .

Hermitesk matris

redigera

En komplex kvadratisk matris   kallas hermitesk om

 

Sats 1

Om   är en hermitek matris, så är dess egenvärden reella.

Bevis

Om   är ett egenvärde till   med tillhörande egenvektor  .

Om ekvationen   multipliceras med   så fås

 
 

Vidare framgår att

 

Av likheten

 

och att   är en hermitesk   matris följer att   måste vara reell.

VSB.

Det finns en liknande sats för reella vektorrum, men i det fallet måste matrisen vara symmetrisk istället för hermitesk.

Sats 2

Om   är en   hermitesk matris så är

  1. egenvektorerna för motsvarande egenvärden ortogonala.
  2.   är unitärt diagonaliserbar.

Bevis (1)

Låt   och   vara egenvektorer till motsvarande egenvärden,   och  .

Eftersom   och   får vi följande ekvationer från matrisprodukten  

 
 

Av detta fås att

 
 
 
 

Eftersom  .

VSB.

Notera att egenvektorerna hos en symmetrisk matris också är ortogonala mot varandra.

Bevis (2)

Se spektralsatsen.

Referenser

redigera
  1. ^ W W L CHEN 2008: "Linear Algebra, Chapter 12.1, Complex Vector Space - complex inner products" Arkiverad 11 juni 2014 hämtat från the Wayback Machine., Macquarie University, Sydney, läst maj, 2014.
  2. ^ "Complex Vector Spaces, chapter 8.4, Complexa vector space and inner product": Cengage Learning, läst maj, 2014.
  3. ^ "Complex Vector Spaces, chapter 8.5, Unitary and hermitian matrices": Cengage Learning, läst maj, 2014.