En parallellogram med diagonaler

Parallellogramlagen är inom matematiken en ekvation som kan förekomma i flera sammanhang. Den enklaste tillämpningen är inom plangeometri där satsen också har sitt ursprung. För en parallellogram är summan av kvadraterna på sidonas längder lika med summan av kvadraterna på diagonalernas längder:

För en allmän fyrhörning kan sidorna antas vara olika och sambandet blir

där x är längden av linjesegmentet som förenar diagonalernas mittpunkter. Om x = 0, förenklas detta till parallellogramlagen.

BevisRedigera

 
Figur 1

Med beteckningar enligt figur 1 kan parallellogramlagen skrivas

 

För ett geometriskt bevis kan Pythagoras sats användas:

 
 
Summan av ekvationerna är
 
Upprepad användning av Pythagoras sats ger
 
och därmed är satsen bevisad.

Parallellogramlagen i inre produktrumRedigera

 
I ett normerat rum kan lagen tillämpas på vektorers normer

I ett normerat rum, är parallellogramlagen en ekvation som är ett samband mellan normer:

 

I ett inre produktrum är normen bestämd av den inre produkten:

 

Som en konsekvens av denna definition, är parallellogramlagen i ett inre produktrum, en algebraisk identitet som enkelt erhålls genom egenskaperna hos den inre produkten:

 
 

Om dessa uttryck adderas blir

 

vilket parallellogramlagen kräver.

Om x är ortogonal till y, då är   och ekvationen ovan för normen av en summa blir

 

vilket är Pythagoras sats.

Normerade vektorrum som satisfierar parallellogramlagenRedigera

De flesta reella och komplexa vektorrum har inte inre produkter, men alla normerade vektorrum har normer (enligt definition). Exempelvis, en vanlig norm är p-normen:

 

där   är komponenter till vektorn  .

Givet en norm, går det att beräkna parallellogramlagens båda sidor. Ett anmärkningsvärt faktum är att om parallellogramlagen gäller, då måste normen uppstå på det vanliga sättet från någon inre produkt. Speciellt, den håller för p-normen om och endast om, p = 2, den så kallade euklidiska normen eller standardnormen.[1][2]

För varje norm som satisfierar parallellogramlagen (vilken med nödvändighet är en inre produktnorm), genererar normen den inre produkten, vilken är unik, som en konsekvens av polarisationsidentiteten. I det reella fallet ges polarisationsidentiteten av

 
Arganddiagrammet visar parallellogramlagen tillämpad på komplexa tals absolutbelopp
 

eller, ekvivalent, av

  eller  

I det komplexa fallet ges den av

 

Till exempel, med användning av p-normen med p = 2 och reella vektorer  , görs beräkningen av den inre produkten enligt

 

vilket är den vanliga skalärprodukten av två vektorer.

ReferenserRedigera

NoterRedigera

  1. ^ Cantrell, Cyrus D. (2000). Modern mathematical methods for physicists and engineers. Cambridge University Press. Sid. 535. ISBN 0-521-59827-3. https://books.google.com/books?id=QKsiFdOvcwsC&pg=PA535. ”if p ≠ 2, there is no inner product such that   because the p-norm violates the parallelogram law.” 
  2. ^ Saxe, Karen (2002). Beginning functional analysis. Springer. Sid. 10. ISBN 0-387-95224-1. https://books.google.com/books?id=0LeWJ74j8GQC&pg=PA10.