Matrisers teckenkaraktär

(Omdirigerad från Positivt definit)

Inom matematiken anger teckenkaraktären hos en matris vilka tecken ( är det hermiteska konjugatet till ) antar för alla vektorer .

Om är en matris och säger man att är:

  • Positivt definit om
för alla .
  • Positivt semidefinit om
för alla .
  • Negativt definit om
för alla .
  • Negativt semidefinit om
för alla .
  • Indefinit om varken är positivt eller negativt semidefinit

Att avgöra teckenkaraktärRedigera

Det finns flera sätt att avgöra en matris teckenkaraktär.

EgenvärdenRedigera

Om   är en diagonaliserbar matris och alla egenvärden är positiva är   positivt definit. Om alla egenvärden är negativa är matrisen negativt definit. Om minst ett egenvärde är noll, men de nollskilda egenvärdena har samma tecken är matrisen semidefinit. Om egenvärdena har olika tecken är matrisen indefinit.

Sylvesters kriteriumRedigera

Enligt Sylvesters kriterium är en matris   positivt definit om och endast om varje determinant till delmatriserna uppifrån till vänster (inkluderat matrisen själv) är positiv.

Exempelvis kan man avgöra om matrisen nedan är positivt definit:

 

För att avgöra detta betraktar vi de övre vänstra delmatriserna:

 
 
 

  och alltså är   positivt definit.

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.