Väsentligt supremum och väsentligt infimum

(Omdirigerad från Väsentligt supremum)

Väsentligt supremum och väsentligt infimum är idéer inom matematik som förenar supremum och infimum med måtteori.

BakgrundRedigera

Skillnaden mellan vanligt supremum och väsentligt supremum är att nollmängder inte påverkar det väsentliga supremumet. Till exempel, om funktionen   är definierad som

 

så är

 

men för alla  

 .

Det vill säga att det finns bara en punkt där  . Därför kan man säga att det är inte "resonligt" att supremumet för f är 100. Man får ingen informationen från talet 100.   nästan överallt i  , så att det "väsentliga" supremumet för f borde vara 1. Så man definierar väsentliga supremumet för f till 1. På likartat sätt definieras väsentligt infimum.

Formell definitionRedigera

Låt   vara ett måttrum och en mätbar funktion  .

Väsentligt supremum för f är det minsta reella tal r så att mängden av alla x i X som uppfyller   är en nollmängd:

 

Väsentligt infimum för f är det största reella tal r så att mängden av alla x i X som uppfyller   är en nollmängd:

 

Beteckningen "ess" kommer från engelskans "essential" ("väsentlig").

Koppling till vanligt supremum och infimumRedigera

Detta kan jämföras med vanligt supremum och infimum. Det går att visa att supremum för mätbara funktionen   är det minsta reella tal r så att mängden av x i X som uppfyller   är tom:

 

och infimum för f är det största reella tal r så att mängden av x i X som uppfyller   är tom:

 

Därför

 

eftersom  

TillämpningarRedigera

Väsentligt supremum har många tillämpningar inom måtteori och funktionalanalys.

NormRedigera

Huvudartikel: Supremumnormen.

Med väsentligt supremum kan man definiera en norm som kallas väsentlig supremumnorm.

 -rumRedigera

Huvudartikel: Lp-rum.

Med väsentliga supremumnormen kan man definiera begreppet väsentligt begränsad funktion, dvs rummet  .

Se ävenRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.