Kardinalitetmått

(Omdirigerad från Räknemått)

Ett kardinalitetmått eller räknemått är ett mått som mäter kardinaliteten för mängder. Kardinalitetmåttet används mestadels som ett enkelt exempel för mått men det också har tillämpningar i serieteori.

DefinitionRedigera

Låt   vara en mängd. Kardinalitetmåttet för mängden är en funktion  , definierad som:

 

där card(A) är kardinaliteten för mängden A. Kardinalitetmåttet är ett mått.

EgenskaperRedigera

Det finns en koppling mellan kardinalitetmått och Diracmått: om   så är

 

Kardinalitetmått är nolldimensionella Hausdorffmått:

 

SerieteoriRedigera

Kardinalitetmåttet har tillämpningar i serieteori. Om   är uppräknelig, d.v.s.

 ,

är kardinalitetmåttets måttintegral en serie: om   är

 

Alltså f är integrerbar om och endast om serien   är absolutkonvergent.

Detta innebär också att vi man kan bevisa Hölders olikhet och Minkowskis olikhet för serier med Lp-normens Hölders och Minkowskis olikheter som är till för integraler.

ReferenserRedigera

  • P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.