Öppna huvudmenyn

En σ-algebra (sigma-algebra) är ett matematiskt objekt som är av central betydelse för studier inom måtteori och integrationsteori.

Syftet med en sigma-algebra är att beskriva vilka delar av en given mängd X som går att mäta. En ofta använd strategi att lösa problem eller lära sig hur ett föremål är beskaffat, är att splittra upp det i mindre beståndsdelar för att därefter studera dessa separat. Det går det inte att splittra upp ett objekt i vilka delar som helst, utan dessa måste se ut på ett visst sätt. Den matematiska motsvarigheten till det sätt på vilket ett objekt får splittras, är en sigma-algebra. Genom att utesluta vissa "mycket konstiga" delmängder av X erhålls en sigma-algebra som är mycket lättare att hantera.

Formell beskrivningRedigera

En σ-algebra (sigma-algebra) över en mängd X är en familj   av delmängder av X som är sådan att

  •   är icke-tom:  
  •   är sluten under komplementsbildning:  .
  •   är sluten under uppräkneliga unioner. Det innebär att om mängderna   tillhör  , är deras union   också ett element i  .

Om   är en sigma-algebra i X kallas ofta paret   ett mätbart rum.

En viktig detalj att notera är att elementen i en sigma-algebra på X utgörs av delmängder till X, inte punkter i X.

Om vi exempelvis låter X vara två-punkts mängden X = { 0, 1 }, så kan en sigma-algebra på X vara familjen { Ø, X }; I denna sigma-algebra är mängden X ett element.

Snitt och unioner av sigma-algebrorRedigera

Låt   och   vara två sigma-algebror på mängden X.

  • Snittet   är också en sigma-algebra på X. Den är en del-sigma-algebra av både   och  .
  • Unionen   är inte nödvändigtvis en sigma-algebra på X.

Följande exempel visar att familjen   inte behöver vara en sigma-algebra, bara för att familjerna   och   är det.

Tag mängden X = {0,1,2} och de två sigma-algebrorna A = { Ø, X, {0}, {1,2} } samt B = { Ø, X, {1}, {0,2} }. Unionen av dessa sigma-algebror är familjen
 
Om detta vore en sigma-algebra så skulle unionen, {0,1}, av mängderna {0} och {1} vara ett element i familjen  .

Sigma-algebra genererad av familj av delmängderRedigera

Låt C vara en godtycklig familj av delmängder till en mängd X. Det finns sigma-algebror,  , av olika storlekar som har familjen C som en del av sig:

 

Den minsta av dessa sigma-algebror kallas sigma-algebran genererad av familjen C och betecknas  ; den är definierad som snittet av alla sigma-algebror som omfattar C:

 

Exempel: Borel sigma-algebraRedigera

Ett exempel på en sigma-algebra som är genererad av en familj av delmängder ges av ett topologiskt rum (X,T): Objektet T är en familj av delmängder till X som besitter vissa egenskaper; för detaljer se artikeln Topologiskt rum. Sigma-algebran, σ(T), genererad av denna familj kallas Borel sigma-algebranX.

Exempel: Produkt sigma-algebraRedigera

Låt   och   vara två mätbara rum. På den cartesiska produkten   skall en sigma-algebra konstrueras baserad på de tillgängliga sigma-algebrorna   och  .

En första tanke kanske är att bilda familjen   bestående av alla produkter  , där A är ett element i F och B ett element i G:
 
Denna familj behöver inte vara en sigma-algebra på   bara för att F är en sigma-algebra på X och G är en sigma-algebra på Y, vilket följande exempel visar.
Låt   = { Ø, X } vara den triviala sigma-algebranX och   = { Ø, Y } den triviala sigma-algebran på Y. Produkten av dessa familjer är familjen
 
Om vi tar de två elementen   och  , så måste deras union
 
vara ett element i familjen om denna är en sigma-algebra på den cartesiska produkten  .

Den korrekta definitionen av produkt-σ-algebran på   är som den minsta sigma-algebra som innehåller familjen   ovan; den vanligast förekommande beteckningen för denna är  

Sigma-algebra genererad av en avbildningRedigera

Låt   vara en avbildning från det mätbara rummet   till det mätbara rummet  . Detta innebär att familjen   är en delfamilj av sigma-algebran  . Elementen i denna familj ser ut på följande sätt:

 

De utgör en sigma-algebra på mängden X – faktum är att detta är den minsta sigma-algebra på X som gör f till en mätbar avbildning.

Man kallar den för sigma-algebran genererad av avbildningen f och skriver σ(f):

 

Sigma-algebra genererad av flera avbildningarRedigera

Låt   och   vara två avbildningar från det mätbara rummet   till det mätbara rummet  .

Unionen   av det två sigma-algebrorna   och   är inte nödvändigtvis själv en sigma-algebra på  ; det är däremot sigma-algebran

 .

Detta är den minsta sigma-algebra på X som gör både f och g till mätbara avbildningar. Man kallar detta för sigma-algebran genererad av avbildningarna f och g, och skriver

 .

På samma sätt som ovan definierar man sigma-algebran   genererad av avbildningar   från det mätbara rummet   till det mätbara rummet  .

Doob-Dynkins lemmaRedigera

Låt f och g vara två avbildningar från det mätbara rummet   till det mätbara rummet  :

 

Avbildningen g är mätbar med avseende på sigma-algebran genererad av f om, och endast om, det finns en mätbar avbildning F som "sammanbinder" avbildningarna f och g:

 

Skrivet på "matematiska":

 

Bevis av Doob-Dynkins lemmaRedigera

Antag att avbildningen g är mätbar med avseende på sigma-algebran genererad av avbildningen f:

 

Varje element   motsvaras då av ett element   som är sådant att

 

Denna association definierar en mätbar avbildning,   på mängden Y:

 

Denna avbildning "sammanbinder" de två avbildningarna f och g:

 
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.