Inom matematiken är det n:te harmoniska talet summan av reciprokerna av de n första naturliga talen:

Harmoniska tal är viktiga inom talteori och är nära relaterade till Riemanns zetafunktion och andra speciella funktioner.

Identiteter för harmoniska tal

redigera

Direkt av harmoniska talens definition följer differensekvationen

 

Summan av de n första harmoniska talen ges av

 

Harmoniska talen är relaterade till Stirlingtalen av andra ordningen enligt formeln

 

Beräkning

redigera

En integralrepresentation av Euler är

 

Representationen ovan kan bevisas genom att använda identiteten

 

och integrera termvis.

Genom variabelbytet x = 1−u kan man få ett elegant kombinatoriskt uttryck för Hn :

 

Samma representation kan fås genom attanvända den tredje av Retkes identiteter genom att låta   och använda  :

 
 
Grafen visar sambandet mellan harmoniska talen och naturliga logaritmen.

Det nte harmoniska talet växer ungefär lika snabbt som naturliga logaritmen ur n. Orsanken till detta är att

 

vars värde är ln(n).

Värdena av följden Hn - ln(n) minskar monotont mot gränsvärdet

 

där γ ≈ 0.5772156649 är Eulers konstant. Asymptotiska expansionen då n → ∞ är

 

där   är Bernoullitalen.

Harmoniska tal som en oändlig serie

redigera

Det n-te harmoniska talet kan skrivas som en oändlig serie på följande vis:

 

Förekomst

redigera

Harmoniska talen förekommer ofta inom talteori och teorin av speciella funktioner såsom i följande formel för digammafunktionen:

 

Denna relation används ofta som definitionen av harmoniska tal för icke-heltal used n. Harmoniska talen används också ofta till att definiera Eulers konstant γ genom gränsvärdet ovan även om

 

konvergerar snabbare.

2002 bevisade Jeffrey Lagarias att Riemannhypotesen är ekvivalent med att

 

gäller för varje heltal n ≥ 1 med strikt olikhet om n > 1, där σ(n) är sigmafunktionen.

Egenvärdena av det icke-lokala problemet

 

ges av   där  

Genererande funktioner

redigera

Harmoniska talens genererande funktion är

 

En exponentiell genererande funktion ges av

 

där Ein(z) är exponentiella integralen. Notera att

 

där Γ(0, z) är ofullständiga gammafunktionen.

Generaliseringar

redigera

Hyperharmoniska tal

redigera

J. H. Conway och R. K. Guy har presenterat följande generalisering av harmoniska talen: låt

 

Då är det nte hyperhermoniska talet av ordning r (r>0)

 

Speciellt är  .

Se även

redigera

Källor

redigera
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Harmonic number, 19 december 2013.

Se även

redigera