Uppslagsordet ”ln” leder hit. För Unix-kommandot, se ln (kommando).

Naturliga logaritmen är en logaritm med basen e, ett transcendent tal approximativt lika med 2,718. Den naturliga logaritmen av ett tal x skrivs ofta ln(x) och är definierad för alla strikt positiva tal.[1] Den naturliga logaritmfunktionen är en reellvärd funktion av en reell variabel:

Naturliga logaritmen
Hyperbeln y = 1/x (blå kurva) och arean från x = 1 till 6 (skuggad). Denna area är lika med den naturliga logaritmen av 6.

I likhet med alla logaritmiska funktioner, mappas multiplikation till addition:

Naturliga logaritmen kan definieras med integralen

Ett tidigt omnämnande av naturlig logaritm gjordes av Nicholas Mercator i verket Logarithmotechnia 1658, men matematikläraren John Speidell hade redan 1619 sammanställt en tabell över naturliga logaritmer.[2]

EgenskaperRedigera

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Derivata och taylorserierRedigera

 
Taylorpolynomen för ln(1 + x) ger noggranna approximationer endast i intervallet −1 < x ≤ 1. Notera att, för x > 1, ger taylorpolynomen av högre gradtal sämre approximationer

Den naturliga logaritmens derivata ges av

 

Bevis:

 
 
 
 
Låt  
 
 
 
 
Låt  
 
 
 

Detta leder till taylorserierna för ln(1 + x) kring 0 (också kända som mercatorserierna):

 

ReferenserRedigera

NoterRedigera

  1. ^ Mortimer, Robert G. (2005). Mathematics for physical chemistry (3rd). Academic Press. sid. 9. ISBN 0-12-508347-5. https://books.google.com/books?id=nGoSv5tmATsC  Extract of page 9
  2. ^ J J O'Connor and E F Robertson (1 september 2001). ”The number e”. The MacTutor History of Mathematics archive. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html. Läst 2 februari 2009.