Den harmoniska serien är inom matematik den oändliga serien

Serien är divergent[förtydliga]; dess summa är oändlig.

Bevis för divergensRedigera

Det första beviset för att den harmoniska serien divergerar gavs av Nicolas Oresme (1320-1382). Oresme grupperade termerna som

 

och observerade att varje grupp är större än motsvarande grupp i serien

 
 

som uppenbarligen divergerar.

Ett bevis som inte använder sig av Oresmes oändligt många grupperingar, men ändå tar vara på hans idé, är följande resonemang.

Om den harmoniska serien konvergerar så skall skillnaden mellan två godtyckliga delsummor   och   gå mot talet 0, då index n och m växer mot oändligheten oberoende av varandra.

Sekvensen   är då en så kallad Cauchy-följd. Varje konvergent sekvens är en Cauchy-följd, men det finns Cauchy-följder som inte konvergerar.

Skillnaden mellan delsummorna

 

och

 

är differensen

 

Denna differens är större än talet   om   :

 

Detta visar att differensen   inte går mot noll då index n och m går mot oändligheten oberoende av varandra. Därför är den harmoniska serien divergent.

Den harmoniska serien kan även visas divergera med hjälp av Integraltestet. Motsvarande integral är

 

där ln betecknar den naturliga logaritmen.

Det faktum att den harmoniska serien är divergent låter oss dra slutsatsen att det finns så många divergenta serier att vi inte ens kan räkna upp dem! Det resultat som låter oss dra denna slutsats är det så kallade jämförelsekriteriet:

Om   och   är två sekvenser av positiva tal sådana att   för varje index n, så är serien   konvergent om serien   är konvergent, och serien   är divergent om serien   är divergent.

Låt   vara den harmoniska sekvensen

 

och   vara sekvensen   där   är ett godtyckligt tal. Järförelsekriteriet låter oss dra slutsatsen att serien

 

är divergent, eftersom den harmoniska serien är divergent. Detta gäller för varje val av talet   och eftersom det finns fler sådana tal   än vad vi kan räkna upp (överuppräkneligt många), finns det fler divergenta serier än vad vi kan räkna upp.

Den harmoniska serien utgör ett exempel på att termer som går mot noll inte är ett tillräckligt villkor för att en serie ska vara konvergent.

DelsummorRedigera

Den n-te delsumman

 

kallas för ett harmoniskt tal. De harmoniska talen är för n = 1, 2, 3, ... lika med

 

Den harmoniska serien divergerar trots att delsummorna växer långsamt: exempelvis krävs 12367 termer innan summan överstiger 10, och cirka 1,509 × 1043 innan den överstiger 100.

Tillväxthastigheten för delsummorna är ungefär densamma som för den naturliga logaritmen. Skillnaden då n går mot oändligheten är ändlig och lika med talet

 

som kallas Eulers konstant.

VarianterRedigera

Serien divergerar även om endast termer med primtal i nämnaren tas med:

 

där pk betecknar det k-te primtalet. Beviset, som är betydligt mer komplicerat än det för den vanliga harmoniska serien, gavs först av Leonhard Euler.

Euler visade även följande koppling mellan den harmoniska serien och primtalen; Ett resultat som gav upphov till det som vi idag kallar analytisk talteori:

 

Det faktum att den harmoniska serien är divergent låter oss dra slutsatsen att det finns oändligt många primtal.

Om varje term i den harmoniska serien kvadreras fås däremot den konvergenta serien

 

Problemet att bestämma denna summa är känt som Baselproblemet, och även detta löstes av Euler. Om exponenten 2 ersätts med ett godtyckligt komplext tal uppkommer den så kallade Riemanns zetafunktion.

Den alternerande harmoniska serien

 

konvergerar mot den naturliga logaritmen av talet 2,  ; Anledningen till detta är att varje alternerande serie, vars termer går mot noll, konvergerar; Konvergensen mot just   kan bevisas genom att beräkna Taylorserien för den naturliga logaritmen.