Naturliga tal
De naturliga talen är de heltal som är icke-negativa {0, 1, 2, 3, 4, …}, alternativt de heltal som är positiva {1, 2, 3, 4, …}. Den första definitionen är vanlig i Sverige och allmänt i matematisk logik, mängdlära och beräkningsvetenskap, medan den senare kan hittas i bland annat amerikansk litteratur och bland talteoretiker. Mängden av de naturliga talen betecknas ℕ (ett vanligt N i fetstil kan även användas). ℕ är diskret, uppräkneligt oändlig och har kardinalitet Alef-noll (ℵ₀).[1][2]
Enligt den definition som görs i Matematikterminologi i skolan, utgiven av Statens skolverk i Sverige, ingår talet 0 bland de naturliga talen. Konventionen att räkna 0 bland de naturliga talen förekom inte alls före 1800-talet och tillämpas inte av alla matematiker. Den infördes i samband med att de naturliga talen gavs en mängdteoretisk definition, enligt vilken de naturliga talen precis motsvarar kardinaltalen för ändliga mängder och 0 måste användas som kardinaltal för den tomma mängden.
En fördel med att inkludera 0 är att de naturliga talen då utgör en monoid under både addition och multiplikation. En nackdel är att man inom talteori måste göra undantag för 0 i samband med primtalsfaktorisering, då 0 inte kan primtalsfaktoriseras (1 kan faktoriseras som den tomma produkten).
För att undvika förvirring kan ℤ+ användas för att beteckna de positiva heltalen, och ℕ0 för de icke-negativa.
Formell definition
redigeraDe naturliga talen kan konstrueras med Peanos axiom, det är även möjligt att konstruera dem utifrån mängdlära:
Låt 0 = ∅ = {}, den tomma mängden.
Definiera, för varje mängd a, funktionen S(a) = a ∪ {a} som ger efterföljaren till a. Symbolen ∪ representerar union.
Om oändlighetsaxiomet gäller så existerar de naturliga talen och är snittet av alla mängder X som innehåller 0 och är slutna för S, dvs:
Denna mängd uppfyller Peanos axiom.
Ett naturligt tal kommer då vara mängden av alla tal som är mindre än det givna talet:
då mängden n kommer att ha n element och n är mindre än eller lika med m om och endast om n är en delmängd till m.
Se även
redigeraDen här artikeln ingår i boken: Matematik |
Referenser
redigera- ^ ”Talområden och funktioner”. Arkiverad från originalet den 21 augusti 2019. https://web.archive.org/web/20190821031031/http://web.abo.fi/fak/mnf/mate/kurser/gkanalys/GKAkapitel1.pdf. Läst 18 september 2013. PDF
- ^ ”1.1 Olika typer av tal”. Arkiverad från originalet den 29 september 2013. https://web.archive.org/web/20130929145554/http://wiki.math.se/wikis/sommarmatte1/index.php/1.1_Olika_typer_av_tal. Läst 18 september 2013.
Externa länkar
redigera- Wikimedia Commons har media som rör Naturliga tal.
- Vad är ett naturligt tal? (PDF-fil 125kB)