Vridningsinvariant mått

Ett vridningsinvariant mått är inom matematiken ett mått i ortogonalgruppen.

Formell definition

Ortogonalgruppen O(n) är en lokalt kompakt topologisk grupp, så det finns ett unikt Haarmått $\theta _{n}$ i O(n):

$\theta _{n}:{\mbox{Bor}}\,O(n)\rightarrow [0,\infty ],$

där ${\mbox{Bor}}\,O(n)$ är Borelalgebran i O(n). Det här mått kallas för ett vridningsinvariant mått.

Exempel

Namnet vridning har en intuitiv förklaring: Om n = 2 så är ortogonalgruppen O(2) mängden av alla vridningar och reflektioner i $\mathbb {R} ^{2}$ (se ortogonalmatris). Så att man kan identifiera det vridningsinvariant måttet $\theta _{2}\,$ som det utan konstant 1-dimensionella Hausdorffmåttet, dvs längdmåttet, i sfären $S^{1}\,$.

Egenskaper

Det finns ett samband mellan Hausdorffmåttet och vridningsinvarianta måttet. Låt $x\in \mathbb {R} ^{n}$ och $\Upsilon _{x}:O(n)\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$,

$\Upsilon _{x}(g):=g(x)\,$,

för $g\in O(n)\,$. Så att $\Upsilon _{x}\,$ är en $\theta _{n}\,$-mätbar funktion och

$\Upsilon _{x\#}\theta _{n}(A)={\mathcal {H}}^{n-1}(A),\,$

för $A\subset S^{n-1}\,$ och $\Upsilon _{x\#}\theta _{n}\,$ är $\theta _{n}\,$ bildmåttet med avseende på $\Upsilon _{x}\,$. $S^{n-1}\,$ är den n-dimensionella sfären.

Se även

• Ortogonalgrupp
• Grassmannmångfald
• Grassmannmått