Bildmått

Ett bildmått är inom matematiken ett mått som avbildar en måttstruktur från andra måttrummet till andra.

Formell definition

Låt $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ vara ett måttrum och $(Y,{\mathcal {G}})$ ett mätbart rum, dvs ${\mathcal {G}}$ är en sigma-algebra i Y. Om $f:X\rightarrow Y$ är en mätbar funktion är µ:s f-bildmått eller bildmåttet en funktion $f_{\#}\mu :{\mathcal {G}}\rightarrow [0,\infty ]$ definierad som:

$(f_{\#}\mu )(A):=\mu (f^{-1}A),$

för $A\in {\mathcal {G}}$, dvs man mäta urbilder med måttet µ.

Med urbildens egenskaper man kan visa nästan:

• Tomma mängden har bildmåttet noll:

$(f_{\#}\mu )(\varnothing )=\mu (f^{-1}\varnothing )=\mu (\varnothing )=0;$

• Bildmåttet är σ-additiv, dvs om E₁, E₂, E₃, ... är en uppräknelig sekvens av parvis disjunkta mängder i ${\mathcal {G}}$ så är

$(f_{\#}\mu )\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\mu \left(f^{-1}\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }f^{-1}E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (f^{-1}E_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }(f_{\#}\mu )(E_{i}),$

eftersom f^-1E₁, f^-1E₂, f^-1E₃, ... är en uppräknelig sekvens av parvis disjunkta mängder i ${\mathcal {F}}$.

Dvs bildmåttet är ett mått ${\mathcal {G}}\rightarrow [0,\infty ]$. Så att $(Y,{\mathcal {G}},f_{\#}\mu )$ är ett måttrum.

Sannolikhetsfördelning

Huvudartikel: Sannolikhetsfördelning

En viktig tillämpning för bildmåttet är stokastisk variabels fördelning. Mer precist, låt $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ vara ett sannolikhetsrum och $X:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$ en stokastisk variabel. Så att sannolikhetsfördelning för X är ett bildmått

$\mathbb {P} _{X}:=X_{\#}\mathbb {P} \,.$

Se även

• Måtteori
• Sannolikhetsteori