Haarmått är ett mått i lokalt kompakta topologiska grupper så att det är volyminvariant. Till exempel är Lebesguemåttet Haarmåttet i .

Translation-invariant måttRedigera

Låt   vara en grupp.

Om   och   kallas mängden

 

för vänstertranslationen för A och mängden

 

för högertranslationen för A.

En sigma-algebra   i   är vänstertranslationsinvariant om

för alla   och   är  ,

likartat kan man definiera egenskapen att en sigmaalgebra är högertranslationsinvariant.

Om   är en vänstertranslationsinvariant sigma-algebra så är måttet   vänstertranslationsinvariant om

för alla   och   är   ,

likartat kan man definiera att ett mått är högertranslationsinvariant.

HaarmåttRedigera

Låt   vara en lokalt kompakt topologisk grupp, dvs

  • paret   är en grupp,
  • rummet   är ett lokalt kompakt topologiskt rum
  • avbildningen   är kontinuerlig (i produkttopologin) och
  • avbildningen   är kontinuerlig.

Då är Borelmängderna   en vänster- och högertranslationsinvariant sigma-algebra.

Det går att visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett Radonmått

 

som är vänstertranslationsinvariant. Vi kallar detta mått vänster-Haarmåttet.

Man kan även visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett Radonmått

 

som är vänster-translation-invariant som kallas höger-Haarmåttet.

Med utan konstant menas att Radonmåttet   i   är vänstertranslationsinvariant om och endast om det finns   så att  , likaså för det högertranslationsinvarianta måttet.

Det finns grupper   där  , men om

 

i   kallar vi måttet

 

för Haarmåttet.

EgenskaperRedigera

  • Givet ett höger-Haarmått   kan ett möjligen nytt höger-Haarmått   skapas genom att definiera
 

där   är ett element i den överliggande gruppen   och   är en Borelmängd. Då alla höger-Haarmått på en grupp är unika upp till en konstant finns således ett reellt tal   sådant att

 

Eftersom ett nytt höger-Haarmått kan skapas för varje element   i gruppen så kan   ses som en funktion från gruppen till de positiva reella talen och brukar kallas modulärfunktionen. Notera att modulärfunktionen är oberoende av vilket höger-Haarmått som väljs för att definiera den eftersom givet två höger-Haarmått   och   så finns det en konstant   så att  . Detta ger

 
  • Om gruppen   är en abelsk grupp så är  .

ExempelRedigera

  • Rummet   är en lokalt kompakt topologisk grupp med normtopologi. Dessutom är Lebesguemåttet över Borelmängder höger- och vänstertranslationsinvariant, dvs
för alla   och   gäller att  .

Så att Lebesguemåttet är Haarmåttet i  :

 .

Detta innebär också att Lebesguemåttet är (utan konstant) det enda höger- och vänstertranslationsinvarianta måttet i  .

 .

KällorRedigera

  • Paul Halmos (1950), Measure Theory, D. van Nostrand and Co.
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.