Matematiska operationer
Addition (+)
term + term
addend + addend
= summa
Subtraktion (−)
term − term
minuend − subtrahend
= differens
Multiplikation (× eller ·)
faktor × faktor
multiplikator × multiplikand
= produkt
Division (÷ eller /)
täljare / nämnare
dividend / divisor
= kvot
Moduloräkning (mod)
dividend mod divisor = rest
Exponentiering (^)
basexponent = potens
n:te roten (√)
grad radikand = rot
Logaritm (log)
logbas(potens) = exponent

Modulär aritmetik, moduloräkning eller kongruensräkning är ett område inom aritmetiken, där man räknar med ett begränsat antal tal. Andra tal räknas som jämlika ("kongruenta") med ett av dessa, nämligen med det av talen som blir rest vid division med antalet tal man räknar med.

Den modulära aritmetiken används bland annat inom kryptologin.

I den modulära matematiken analyseras och används kongruensrelationen. Två tal a och b sägs vara kongruenta modulo n om n delar differensen mellan a och b, vilket för alla nollskilda n är ekvivalent med att de har samma principala rest vid division med n. Detta betecknas , och ibland även .

Talen a och b är kongruenta modulo 0 om och endast om a = b. Detta triviala slags kongruens bortser man ofta från, och förutsätter då i stället att n är nollskilt, alltså inte är lika med noll. Under det extraantagandet kan man formellt beskriva definitionen och dess grundläggande egenskaper så här:

har samma rest vid division med n .

Exempel redigera

 

eftersom 9 och 5 båda ger resten 1 vid division med 4.

 

eftersom 10 och 0 ger samma rest (0) vid division med 2.

Generaliseringar redigera

Om man låter   beteckna delmängden   av Z, så kan ovanstående definition formuleras  . Den avgörande egenskapen hos   är att den är ett ideal. Man låter ofta   betyda   där   är ett ideal i en ring  , eller allmännare Y är en delmodul av en modul X. Mängden av ekvivalensklasser till denna relation betecknas  , och kallas en kvotring (respektive kvotmodul, kvotgrupp, kvotrum och så vidare).

Moduloräkning redigera

Moduloräkning (även kallat kongruensräkning) är ett område inom elementär algebra. Relationen kongruens modulo används bland annat för datoraritmetik och inom kryptering.

Två heltal a och b är kongruenta modulo n om de ger samma rest vid division med n (ett heltal som är större än eller lika med 2).

Detta betecknas  . Man kan också skriva  .

Om a och b inte är kongruenta modulo n, säger vi att talen är inkongruenta, vilket betecknas  

Exempel redigera

  •  , Resten kan i båda fallen bli 4 vid division med 5
  •  , Resten kan i båda fallen bli 3 vid division med 7
  •  , Resten blir olika vid division med 6

De fyra räknesätten redigera

Vid moduloräkning fungerar addition, subtraktion och multiplikation som vanligt. Division fungerar emellertid bara med vissa förbehåll, se exempel nedan.

Bevis redigera

Låt n vara ett positivt heltal. Antag att heltalen   samt   uppfyller
  och  
Per definition vet vi att   och  
Det betyder att det finns heltal x och y sådana att
 
och
 
Nu följer
 
 
 
Alltså gäller  , vilket betyder att
 

Beviset ovan bekräftar giltigheten för addition, och därmed även för subtraktion.

Vidare,
 
 
  (se ovan under additionsbeviset)
 
Och därmed  
Det vill säga
 

Detta bevisar giltigheten för multiplikation vid moduloräkning.

Exempel redigera

Addition redigera

 

Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar

 

 

 

Subtraktion redigera

 

Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar

 

 

 

Multiplikation redigera

 

Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar

 

 

 

Division redigera

För division fordras viss försiktighet, vilket t.ex. illustreras av att  , men  ; det gäller emellertid att om   är heltal, och  , så   där   är den största gemensamma delaren till   och  . Speciellt gäller att om  , så   närhelst   och   är relativt prima (saknar gemensamma delare större än 1).

Se även redigera

Referenser redigera

Böcker redigera

Externa länkar redigera