Öppna huvudmenyn
Matematiska operationer
Addition (+)
addend + addend = summa
Subtraktion (−)
minuend − subtrahend = differens
Multiplikation (× eller ·)
multiplikator × multiplikand = produkt
Division (÷ eller /)
dividend / divisor = kvot
Moduloräkning (mod)
dividend mod divisor = rest
Exponentiering
basexponent = potens
n:te roten (√)
grad radikand = rot
Logaritm (log)
logbas(potens) = exponent

Modulär aritmetik, moduloräkning eller kongruensräkning är ett område inom aritmetiken, där kongruensrelationen analyseras och används. Två tal a och b sägs vara kongruenta modulo n om n delar differensen mellan a och b, vilket för alla nollskilda n är ekvivalent med att de har samma principala rest vid division med n. Detta betecknas , och ibland även .

Talen a och b är kongruenta modulo 0 om och endast om a = b. Detta triviala slags kongruens bortser man ofta från, och förutsätter då i stället att n är nollskilt, alltså inte är lika med noll. Under det extraantagandet kan man formellt beskriva definitionen och dess grundläggande egenskaper så här:

har samma rest vid division med n .

ExempelRedigera

 

eftersom 9 och 5 båda ger resten 1 vid division med 4.

 

eftersom 10 och 0 ger samma rest (0) vid division med 2.

GeneraliseringarRedigera

Om man låter   beteckna delmängden   av Z, så kan ovanstående definition formuleras  . Den avgörande egenskapen hos   är att den är ett ideal. Man låter ofta   betyda   där   är ett ideal i en ring  , eller allmännare Y är en delmodul av en modul X. Mängden av ekvivalensklasser till denna relation betecknas  , och kallas en kvotring (respektive kvotmodul, kvotgrupp, kvotrum och så vidare).

ModuloräkningRedigera

Moduloräkning (även kallat kongruensräkning) är ett område inom elementär algebra. Relationen kongruens modulo används bland annat för datoraritmetik och inom kryptering.

Två tal a och b är kongruenta modulo n om de ger samma rest vid division med n (a,b och n är heltal, n är större eller lika med 2).

Detta betecknas  . Man kan också skriva  .

Om a och b inte är kongruenta modulo n, säger vi att talen är inkongruenta.

Vilket betecknas  

ExempelRedigera

  •  , Resten kan i båda fallen bli 4 vid division med 5
  •  , Resten kan i båda fallen bli 3 vid division med 7
  •  , Resten blir olika vid division med 6

De fyra räknesättenRedigera

Vid moduloräkning fungerar addition, subtraktion och multiplikation som vanligt. Division fungerar emellertid under vissa förbehåll, se exempel nedan.

BevisRedigera

Låt n vara ett positivt heltal. Antag att heltalen   samt   uppfyller
  och  
Per definition vet vi att   och  
Det betyder att det finns heltal x och y sådana att
 
och
 
Nu följer
 
 
 
Alltså gäller  , vilket betyder att
 

Beviset ovan bekräftar giltigheten för addition, och därmed även för subtraktion.

Vidare,
 
 
  (se ovan under additionsbeviset)
 
Och därmed  
Det vill säga
 

Detta bevisar giltigheten för multiplikation vid moduloräkning.

ExempelRedigera

AdditionRedigera

 

Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar

 

 

 

SubtraktionRedigera

 

Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar

 

 

 

MultiplikationRedigera

 

Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar

 

 

 

DivisionRedigera

För division fordras viss försiktighet, vilket t.ex. illustreras av att  , men  ; det gäller emellertid att om   är heltal, och  , så   där   är den största gemensamma delaren till   och  . Speciellt gäller att om  , så   närhelst   och   är relativt prima (saknar gemensamma delare).

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

BöckerRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.