Öppna huvudmenyn

Inom matematiken är den största gemensamma delaren (förkortat SGD) av två eller flera heltal vilka alla inte är noll det största heltal som delar alla talen. Största gemensamma delaren av heltalen a och b skrivs ofta SGD(a, b) eller i talteoretisk litteratur endast (a, b)

Innehåll

Enkel beräkningsmetodRedigera

Här följer ett exempel på hur största gemensamma delare kan bestämmas för de båda talen 48 och 180. Talen primtalsfaktoriseras enligt:

 
 

Ett Venndiagram ritas där vart och ett av talens faktorer utgör en multimängd. I multimängdernas snitt återfinnes de faktorer som de båda talen delar, nämligen två tvåor och en trea:

 

Den största gemensamma delaren är produkten av elementen i Venndiagrammets snitt:

 

Metoden kan även användas för att bestämma minsta gemensamma multipel, som beräknas genom att multiplicera alla talen i Venndiagramet:

Minsta gemensamma multipel  

På samma vis är SGD(12,18) = 6 (eftersom 6 × 2 = 12 och 6 × 3 = 18), SGD(-4,14) = 2 (eftersom 2 × -2 = -4 och 2 × 7 = 14) och SGD(5,0) = 5 (eftersom 5 × 1 = 5 och 5 × 0 = 0).

SpecialfallRedigera

Största gemensamma delaren av 0 och 0 definieras vanligtvis att vara 0. (Visserligen är alla heltal gemensamma delare till 0 och 0, men av dessa räknas 0 som "störst i delbarhetsmening", därför att övriga heltal är äkta delare till 0.) Två tal kallas relativt prima om deras största gemensamma delare är 1. Till exempel är 9 och 28 relativt prima.

AnvändningsområdeRedigera

Den största gemensamma delaren är användbar för att skriva bråk i enklaste form. Till exempel

42/56 = 3/4

där vi har förkortat med 14, som är den största gemensamma delaren för 42 och 56.

Algoritmer för att beräkna den största gemensamma delarenRedigera

Den största gemensamma delaren kan beräknas enligt metoden ovan genom att ta reda på primtalsfaktoriseringen av de två talen och multiplicera snittet av de båda mängderna. Detta sätt används dock inte i praktiken eftersom det är för tidskrävande. En mycket mer effektiv metod är Euklides algoritm.

Andra metoderRedigera

Keith Slavin har bevisat att för udda a ≥ 1 är

 

som är en funktion som även kan definieras för komplexa b. Wolfgang Schramm har visat att

 

där cd(k) är Ramanujans summa. Donald Knuth har bevisat följande:

 

för alla icke-negativa heltal a och b, där a och b inte samtidigt noll. Mer allmänt är

 

En användbar relation med Eulers fi-funktion är

 

EgenskaperRedigera

Varje gemensam delare till a och b delar SGD(a, b).

SGD(a, b)=SGD(a-k×b,b) för alla heltal k.

Största gemensamma delaren till tre tal kan beräknas som SGD(a,b,c) = SGD(SGD(a,b),c) = SGD(a, SGD(b, c)).

Se ävenRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.