Inom matematiken är konjugatregeln ofta använd för att skriva om en differens till en produkt. Om och är två tal är

Konjugatregeln gäller även för andra matematiska objekt än tal. Objekten och måste då kommutera.

Allmänna konjugatregelnRedigera

Om exponenten är ett godtyckligt positivt heltal fås vad som kallas den allmänna konjugatregeln:

 

ExempelRedigera

 

Tillämpning inom talteoriRedigera

Låt a, b och n beteckna positiva heltal. Den allmänna konjugatregeln visar att ett tal på formen   bara kan vara ett primtal om differensen mellan a och b är ett. För att hitta primtal på denna form är det därför tillräckligt att inskränka letandet till tal av typen   Speciellt ger valet   det som kallas mersennetal:

 

För vissa värden på det positiva heltalet   är   ett primtal (mersenneprimtal) och för sådana värden måste talet

 

vara ett primtal enligt konjugatregeln.

Bevis av den allmänna konjugatregelnRedigera

Den allmänna konjugatregeln kan bevisas med hjälp av matematisk induktion med avseende på det positiva heltalet n:

  • Först visas att regeln är sann då n = 1
  • Sedan antas att regeln är sann då n = N, där N är ett positivt heltal
  • Sedan visas att regeln är sann för nästa positiva heltal n = N + 1
  • Slutligen används matematisk induktion som leder till att regeln är sann för alla positiva heltal n.

För det positiva heltalet n = 1 innebär allmänna konjugatregeln sambandet

 

vilket uppenbarligen är sant. Den allmänna konjugatregeln är därför sann för det positiva heltalet n = 1.

Nu antas att den allmänna konjugatregeln är sann för det positiva heltalet n = N, det vill säga:

 

Med utgångspunkt från detta antagande skall det visas att regeln är sann för nästa positiva heltal, det vill säga att

 

Differensen   skrivs om på ett sätt som gör att det går använda det som är känt om differensen

 
 

De termer slås samman som innehåller faktorn   och även de termer som innehåller faktorn b:

 

Sedan ersätts differensen   med det uttryck som antagits vara sant:

 

Därefter bryts den gemensamma faktorn   ut och återstoden skrivs ut i detalj:

 

Sedan multipliceras faktorn b in i summan ovan och därmed är

 

Med hjälp av summa-symbolen kan resultat skrivas på en form som visar att

 

Det har härmed visats att om den allmänna konjugatregeln är sann för det positiva heltalet n = N, så är den även sann för nästa positiva heltal n = N + 1.

Enligt principen för matematisk induktion är då den allmänna konjugatregeln sann för alla positiva heltal n.

Se ävenRedigera