Öppna huvudmenyn
Enhetscirkeln

Trigonometriska ettan är ett trigonometriskt samband som erhålls om Pythagoras sats tillämpas på enhetscirkeln (figur 1):

Sambanden mellan kvadraterna på sinus, cosinus, tangens och cotangens för en vinkelRedigera

Omstrukturerad ger trigonometriska ettan de mycket användbara:

  och
 .

vilka genom division med   ger (efter lite omstrukturering[1]):

  och
 .

medan division med   på samma sätt ger:

  och
 .

Och om vi i stället dividerar   och   med varandra får vi:

  och omvänt
 

För att göra listan fullständig har vi från definitionerna av tangens och cotangens även:

 
 

BevisRedigera

Med rätvinkliga trianglarRedigera

I rätvinkliga trianglar har man följande relationer för en vinkel   med motstående katet  , närliggande katet   och hypotenusan  :

 
 

Av detta följer

 

Den sista likheten följer av sambandet   enligt Pythagoras sats.

Observera att detta endast bevisar satsen för vinklar mellan 0 och   radianer. För att bevisa satsen för de vinklar   som uppfyller   (detta intervall är tillräckligt då sinus och cosinus är periodiska funktioner), kan man se att

 
 

Av detta följer

 
 

Vilket visar att sambandet gäller för  . Vi vet att:

 
 

Av vilket följer

 
 

Vilket visar att sambandet   gäller för intervallet   och därmed för alla  .

Med enhetscirkelRedigera

Koordinaterna på enhetscirkeln kan beskrivas med (där   är vinkeln):

 
 

Dessa koordinater uppfyller även sambandet (cirkelns ekvation):

 

Ur detta följer att

 

Referenser och noterRedigera

  1. ^   Sinusformeln kan visas analogt men erhålls även enkelt från det vi nyss visat med hjälp av trigonometriska ettan:  .

Se ävenRedigera