Cyklisk fyrhörning

En cyklisk fyrhörning (även kallad en cirkelfyrhörning) är en fyrhörning som kan inskrivas i en cirkel.

• För en cyklisk fyrhörning är summan av två motsatta vinklar 180 grader (en följd av randvinkelsatsen)

• Om i en fyrhörning summan av två motsatta vinklar är 180 grader är fyrhörningen inskrivningsbar i en cirkel

• Om i en fyrhörning ABCD vinkeln ACD = vinkeln ABD är fyrhörningen inskrivningsbar i en cirkel (det vill säga om vinkeln mellan en sida och en diagonal är lika med vinkeln mellan den motsatta sidan och den andra diagonalen)

• En fyrhörning är inskrivningsbar i en cirkel om och endast om sidornas mittpunktsnormaler skär varandra i samma punkt (cirkelns medelpunkt - sidorna i en inskriven polygon är ju kordor och dessas mittpunktsnormaler går ju såklart genom medelpunkten)

Area

Arean A av en cyklisk fyrhörning med sidorna a, b, c, d ges av Brahmaguptas formel

$A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\,$

där semiperimetern s är

$s={\frac {a+b+c+d}{2}}$.

Omskrivna cirkelns radie

Om den cykliska fyrhörningens sidor betecknas $a,b,c,d$ och semiperimetern med $s$ är den omskrivna cirkelns radie

$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

Diagonaler

Enligt Ptolemaios sats är produkten av de två diagonalerna p och q hos en cyklisk fyrhörning lika med summan av produkterna av de motstående sidorna ac och bd:

$\ pq=ac+bd.$

För en cyklisk fyrhörning med de successiva hörnen A, B, C, D och de successiva sidorna a = AB, b = BC, c = CD, och d = DA och med diagonalerna p = AC och q = BD gäller:

${\frac {p}{q}}={\frac {ad+cb}{ab+cd}}$.

Diagonalernas längder kan uttryckas i sidornas längder som

$p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}},$

$q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}}}.$

Vinklar

För en cyklisk fyrhörning med de efter varandra följande sidorna a, b, c, d, semiperimeter s, och vinkeln A mellan sidorna a och d, ges de trigonometriska funktionerna för vinkeln A enligt

$\cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}}$

$\sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}}$

$\tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}$

För vinkeln $\theta$ mellan diagonalerna gäller

$\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}$

Se även

• Tangentfyrhörning
• Herons formel