Öppna huvudmenyn

Eulers fi-funktion

aritmetisk funktion
(Omdirigerad från Eulers phi-funktion)
De tusen första värdena av φ(n)

Eulers φ-funktion φ(n), namngiven efter Leonhard Euler, är en viktig aritmetisk funktion inom talteorin.

Om n är ett positivt heltal, då definieras φ(n) som antalet positiva heltal mindre än eller lika med n som är relativt prima med n. Till exempel är φ(8) = 4 eftersom de fyra talen 1, 3, 5 och 7 är relativt prima till 8.

Värdet av φ(n) kan därför beräknas genom att använda aritmetikens fundamentalsats dvs om där pj är distinkta primtal, då är

Innehåll

Egenskaper hos φ(n)Redigera

Om man summerar φ:s värden för alla positiva heltal som delar ett tal n får man talet n:

 

φ är en multiplikativ funktionm och n är relativt prima dvs φ(mn) = φ(m) φ(n).

Värdet av φ(n) är lika med ordningen av enhetsgruppen till ringen Z/nZ (se modulär aritmetik). Detta tillsammans med Lagranges sats ger ett bevis för Eulers sats.

1983 bevisade J. L. Nicolas att

 

gäller för oändligt många n där γ är Eulers konstant.

Formler som innehåller φ(n)Redigera

Delbarhet och elementära resultatRedigera

  • Av   följer  
  •         (a, n > 1)
  •         där d = gcd(m, n). Notera specialfallen
  •  

och

  •  
  •        
Jämför med formeln        
  •   är jämn för   Dessutom, om n har r olika udda primtalsfaktorer, är  
  • För alla a > 1 och n > 6 så att   finns det ett   så att  .

Summor som innehåller φ(n)Redigera

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

där ζ är Riemanns zetafunktion och   är ordosymbolen. Av formeln följer approximationen  

  •  
  •  
  •  
  •  

(där γ är Eulers konstant).

  •  

där m > 1 är ett positivt heltal och ω(m) är antalet olika primtalsfaktorer av m.

Menons identitetRedigera

 

Formler som innehåller det gyllene snittetRedigera

Några identiteter av Schneider som innehåller Eulers fi-funktion, Möbiusfunktionen och det gyllene snittet är

 

och

 

Genom att subtrahera dem fås

 

Ett direkt korollarium är

 

Bevisen baserar sig på formlerna

      och           som gäller för 0 < x < 1.

Genererande funktionerRedigera

Eulers fi-funktion har de genererande funktionerna

 

och

 

som konvergerar för |q| < 1.

Kvoten av konsekutiva värdenRedigera

1950 bevisade Somayajulu att

          och        
 

1954 bevisade Schinzel och Sierpiński det starkare resultatet att mängden

 

är tät i mängden av positiva reella tal. De bevisade också att mängden

 

är tät i intervallet (0, 1).

Olösta problemRedigera

Lehmers förmodanRedigera

Om p är ett primtal är φ(p) = p − 1. 1932 frågade D. H. Lehmer om det finns några sammansatta tal n så att φ(n) | n − 1. Än så länge är inga såna är kända.

1933 bevisade han att om ett sådant n existerar måste det vara udda kvadratfritt och delbart med åtminstone sju primtal (det vill säga ω(n) ≥ 7). Cohen och Hagis bevisade 1980 att n > 1020 och att ω(n) ≥ 14. Dessutom bevisade Hagis att om 3 delar n är n > 101937042 och ω(n) ≥ 298848.

Carmichaels förmodanRedigera

Carmichaels förmodan säger att för alla positiva heltal n finns det åtminstone ett annat positivt heltal m ≠ n så att φ(m) = φ(n).

Det är känt att om det finns ett enda tal som inte satisfierar förmodan, då finns det oändligt många, och att det minsta eventuella talet som inte satisfierar förmodan är minst  .

Se ävenRedigera