Aritmetisk funktion

funktion med definitionsmängd alla positiva heltal och målmängd de komplexa talen

En aritmetisk funktion (eller talteoretisk funktion) f(n) är inom talteorin en funktion med definitionsmängd alla positiva heltal och målmängd de komplexa talen. Med andra ord är en aritmetisk funktion en följd av komplexa tal.

De viktigaste aritmetiska funktionerna är de additiva och de multiplikativa.

En viktig operation på de aritmetiska funktionerna är Dirichletfaltning.

Multiplikativa och additiva funktionerRedigera

En aritmetisk funktion a är

En aritmetisk funktion a är

  • additiv om a(mn) = a(m) + a(n) för alla relativt prima naturliga tal m och n;
  • multiplikativ om a(mn) = a(m)a(n) för alla relativt prima naturliga tal m och n.

ExempelRedigera

Multiplikativa funktionerRedigera

φ(n) – Eulers fi-funkionRedigera

φ(n), Eulers fi-funktion, är antalet positiva heltal mindre än n som är relativt prima till n.

 

μ(n) - MöbiusfunktionenRedigera

μ(n), Möbiusfunktionen, är viktig eftersom den förekommer i Möbius inversionsformel. Den definieras som

 

τ(n) – Ramanujans taufunktionRedigera

τ(n), Ramanujans taufunktion, definieras som

 

Fullständigt multiplikativa funktionerRedigera

λ(n) – Liouvilles funktionRedigera

λ(n), Liouvilles lambda-funktion, definieras som

 

Additiva funktionerRedigera

ω(n) – antalet skilda primtalsdelareRedigera

Funktionen ω(n), definierad som antalet skilda primtal som delar n, är additiv.

Funktioner som är varken multiplikativa eller additivaRedigera

  • c4(n) - antalet sätt som n kan uttryckas som summan av fyra kvadrater på icke-negativa heltal, där man gör skillnad på summandernas ordning. Till exempel:
1 = 12+02+02+02 = 02+12+02+02 = 02+02+12+02 = 02+02+02+12,
dvs c4(1)=4.
  • P(n), Partitionsfunktionen - antalet representationer av n som summan av positiva heltal där man inte skiljer på summandernas ordning.

Till exempel: P(2 · 5) = P(10) = 42 och P(2)P(5) = 2 · 7 = 14 ≠ 42.

  • π(n), Primtalsfunktionen - antalet primtal mindre än eller lika med ett givet tal n. Det gäller att π(1) = 0 och π(10) = 4 (primtalen under 10 är 2, 3, 5 och 7).

Λ(n) – MangoldtfunktionenRedigera

Λ(n), Mangoldtfunktionen, är 0 förutom då argumentet är en primtalspotens, då den är logaritmen av primtalet:

 

rk(n) – summor av k kvadraterRedigera

rk(n) är antalet representationer av n som summan av k kvadrater, där representationer som skiljer sig enbart i ordningen av termerna eller deras tecken räknas som skilda

 

SummafunktionerRedigera

Givet en aritmetisk funktion a(n) definieras dess summafunktion A(x) som

 

A kan ses som en funktion av en reell variabel. Givet ett positivt heltal m är A konstant i det öppna intervallet m < x < m + 1 och har en diskontinuitet vid varje heltal n för vilket a(n) ≠ 0.

Summafunktioner representeras ofta med hjälp av serier och integraler. För att få summafunktionerna kontinuerliga definieras de vanligen vid diskontinuiteter som medelvärdet av värdena till höger och vänster om diskontinuiteten:

 

Individuella värden av aritmetiska funktioner kan variera mycket. Summafunktionerna varierar i allmänhet mindre. I flera fall går det att hitta asymptotiska formler för summafunktionen för stora x.

Relationer mellan aritmetiska funktionerRedigera

DirichletfaltningarRedigera

      där λ är Liouvilles funktion.
       
    Möbiusinversion
 
        Möbiusinversion
       
       
       
        Möbiusinversion
       
        Möbiusinversion
       
        Möbiusinversion
       
      där λ är Liouvilles funktion.
       
        Möbiusinversion

Summor av kvadraterRedigera

      (Lagranges fyrakvadraterssats).
      där χ är den icke-principiella karaktären (mod 4).
      där ν = ν2(n).    
     

Definiera funktionen σk*(n) som

 

Då är

     

Definiera τ(x) = 0 om x inte är ett heltal.

     

Identiteter för sigmafunktionenRedigera

 
 
 
 
 

Om vi definierar p(0) = 1 är

  .

Menons identitetRedigera

1965 bevisade P. Kesava Menon

 

Några generaliseringar är:

 
 

där a1, a2, ..., as är heltal, gcd(a1, a2, ..., as, n) = 1.

 

där m1 och m2 är udda, m = lcm(m1, m2).

Om f är en godtycklig aritmetisk funktion är

 

där * betyder Dirichletfaltning.

ÖvrigtRedigera

 
 

Notera att   

 
 
  Jämför med 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2
 
 
 

Dirichletserier för några aritmetiska funktionerRedigera

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ReferenserRedigera

http://www.math.kth.se/~laksov/gymnaset/prosjekter/backman.pdf