Eisensteinserie

Inom matematiken är en Eisensteinserie, uppkallad efter den tyska matematikern Gotthold Eisenstein, vissa modulära former med oändliga serieexpansioner som kan skrivas ner direkt. Även om de ursprungligen definierades för den modulära gruppen kan de generaliseras i teorin av automorfiska former.

Eisensteinserien för modulära gruppen

Reella delen av G₆ som en funktion av q i enhetsskivan.

Imaginära delen av G₆ som en funktion av q i enhetsskivan.

Låt τ vara ett komplext tal med strikt positiv imaginär del. Den analytiska Eisensteinserien G_2k(τ) av vikt 2k, där k ≥ 2 är ett heltal, definieras som

$G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}\backslash (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.$

Denna serie konvergerar absolut mot en analytisk funktion av τ i övre planhalvan och dess Fourierexpansion given nedan bevisar att den kan fortsättas till en analytisk funktion vid τ = i∞. Den är anmärkningsvärt att Eisensteinserien är en modulär form. Den är invariant under gruppen SL(2, Z); mer explicit, om a, b, c d ∈ Z och ad−bc = 1 är

$G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )$

och G_2k är härmed en modulär from av vikt 2k. Notera att det är viktigt att anta att k ≥ 2 emedan man annars inte kan byta ordningen av summeringen, och SL(2, Z)-invariansen skulle inte nödvändigtvis gälla. Faktiskt finns det inga otriviala modulära former av vikt 2. Dock kan man definiera en analogi av analytiska Eisensteinserien för k = 1, men det resulterar enbart i en kvasimodulär form.

Relation till modulära invarianter

Modulära invarianterna g₂ och g₃ av en elliptisk kurva kan uttryckas med hjälp av Eisensteinserier som

$g_{2}=60G_{4}$

$g_{3}=140G_{6}.$

Differensekvation

En godtycklig analytisk modulär form för modulära gruppen kan skrivas som ett polynom i G₄ och G₆. Speciellt kan Eisensteinserierna G_2k av högre ordning skrivas med hjälp av G₄ och G₆ genom en differensekvation. Låt d_k =(2k+3)k!G_2k+4. Då satsisfierar koefficienterna d_k relationen

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}$

för alla n ≥ 0. Här är ${n \choose k}$ en binomialkoefficient och $d_{0}=3G_{4}$ och $d_{1}=5G_{6}$.

Koefficienterna d_k förekommer i serieexpansionen av Weierstrass elliptiska funktion:

$\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}.$

Fourierserie

G₄

G₆

G₈

G₁₀

G₁₂

G₁₄

Definiera $q=e^{2\pi i\tau }$ (några äldre böcker definierar istället $q=e^{i\pi \tau }$, men beteckningen $q=e^{2\pi i\tau }$ är numera standard inom talteori). Då är Fourierserien av Eisensteinserie

$G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)$

där koefficienterna c_2k ges av

$c_{2k}={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}={\frac {-4k}{B_{2k}}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}.$

Här betecknar B_n Bernoullitalen, ζ(z) är Riemanns zetafunktion och σ_p(n) is the sigmafunktionen, summan av p:te potenserna av delarna av n. Speciellt är

${\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left[1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right]\\G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left[1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right].\end{aligned}}$

Summan kan skrivas som en Lambertserie; ekvationen

$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}$

gäller för alla komplexa |q| ≤ 1 och a. Då man arbetar med q-expansionen av Eisensteinserien används ofta den alternativa beteckningen

$E_{2k}(\tau )={\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{d,n\geq 1}n^{2k-1}q^{nd}.$

Identiteter med Eisensteinserier

Som thetafunktioner

Givet $q=e^{2\pi i\tau }$, låt

$E_{4}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}$

$E_{6}(\tau )=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}$

$E_{8}(\tau )=1+480\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{7}q^{n}}{1-q^{n}}}$

och definiera

$a=\theta _{2}(0;e^{\pi i\tau })=\vartheta _{10}(0;\tau )$

$b=\theta _{3}(0;e^{\pi i\tau })=\vartheta _{00}(0;\tau )$

$c=\theta _{4}(0;e^{\pi i\tau })=\vartheta _{01}(0;\tau )$

där $\theta _{m}$ och $\vartheta _{ij}$ är alternativa beteckningar för Jacobis thetafunktioner. Då är

$E_{4}(\tau )={\tfrac {1}{2}}(a^{8}+b^{8}+c^{8})$

${\begin{aligned}E_{6}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}{\big (}-3a^{8}(b^{4}+c^{4})+b^{12}+c^{12}{\big )}\\&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}\end{aligned}}$

av vilket ett uttryck relaterat till modulära diskriminanten följer:

$E_{4}^{3}-E_{6}^{2}={\tfrac {27}{4}}(abc)^{8}$

$\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}.$

Emedan $E_{8}=E_{4}^{2}$ och $a^{4}-b^{4}+c^{4}=0$ leder detta även till

$E_{8}(\tau )={\tfrac {1}{2}}(a^{16}+b^{16}+c^{16}).$

Produkter av Eisensteinserier

Eisensteinserier är de mest explicita exempel av modulära former för den fulla modulära gruppen SL(2, Z). Eftersom rummet av modulära former av vikt 2k har dimension 1 för 2k = 4, 6, 8, 10, 14 måste olika produkter av Eisensteinserier med ovannämnda vikter vara konstanta multiplar av varann. Exempel på detta är

$E_{4}^{2}=E_{8},\quad E_{4}E_{6}=E_{10},\quad E_{4}E_{10}=E_{14},\quad E_{6}E_{8}=E_{14}.$

Genom att använda q-expansionerna av Eisensteinserierna beskrivna ovan kan dessa formler skrivas som identiteter med sigmafunktionen:

$(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n})^{2}=1+480\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{7}(n)q^{n},$

och härmed

$\sigma _{7}(n)=\sigma _{3}(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m)$

och likadant med de andra. Ännu mer intressantare är thetafunktionen av ett åttadimensionellt jämnt unimodulärt gitter Γ är en modulär form av vikt 4 för den fulla modulära gruppen, vilket ger följande identitet:

$\theta _{\Gamma }(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\infty }r_{\Gamma }(2n)q^{n}=E_{4}(\tau ),\quad r_{\Gamma }(n)=240\sigma _{3}(n)$

för antalet r_Γ(n) vektorer av kvadrerad längd 2n i E8-gittret.

Likadana tekniker med analytiska Eisensteinserier böjda av en Dirichletkaraktär ger formler för antalet representationer av ett positivt heltal n som summan av två, fyra eller åtta kvadrater med hjälp av delarna av n.

Genom att använda differensekvationen ovan kan alla E_2k av högre ordning skrivas som polynom i E₄ och E₆. Exempelvis är

${\begin{aligned}E_{8}&=E_{4}^{2}\\E_{10}&=E_{4}\cdot E_{6}\\691\cdot E_{12}&=441\cdot E_{4}^{3}+250\cdot E_{6}^{2}\\E_{14}&=E_{4}^{2}\cdot E_{6}\\3617\cdot E_{16}&=1617\cdot E_{4}^{4}+2000\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{2}\\43867\cdot E_{18}&=38367\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}+5500\cdot E_{6}^{3}\\174611\cdot E_{20}&=53361\cdot E_{4}^{5}+121250\cdot E_{4}^{2}\cdot E_{6}^{2}\\77683\cdot E_{22}&=57183\cdot E_{4}^{4}\cdot E_{6}+20500\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{3}\\236364091\cdot E_{24}&=49679091\cdot E_{4}^{6}+176400000\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}^{2}+10285000\cdot E_{6}^{4}\end{aligned}}.$

Många relationer mellan produkter av Eisensteinserier kan skrivas i elegant form genom att använda Hankeldeterminanter, exempelvis Garvans identitet

$\Delta ^{2}=-{\frac {691}{1728^{2}\cdot 250}}\det {\begin{vmatrix}E_{4}&E_{6}&E_{8}\\E_{6}&E_{8}&E_{10}\\E_{8}&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}}$

där

$\Delta ={\frac {E_{4}^{3}-E_{6}^{2}}{1728}}$

är den modulära diskriminanten.

Ramanujans identiteter

Srinivasa Aiyangar Ramanujan gav flera intressanta identiteter mellan de första Eisensteinserierna och deras derivator. Låt

$L(q)=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}=E_{2}(\tau )$

$M(q)=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}=E_{4}(\tau )$

$N(q)=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}=E_{6}(\tau ).$

Då är

$q{\frac {dL}{dq}}={\frac {L^{2}-M}{12}}$

$q{\frac {dM}{dq}}={\frac {LM-N}{3}}$

$q{\frac {dN}{dq}}={\frac {LN-M^{2}}{2}}.$

Ur dessa identiteter följer aritmetiska identiteter med sigmafunktionen. För att skriva dessa identiteter i sin enklaste form utvidgar vi, efter Ramanujan, domänen av σ_p(n) även till noll genom att definiera

$\sigma _{p}(0)={\frac {1}{2}}\zeta (-p).\;$    T.ex.

${\begin{aligned}\sigma (0)&=-{\frac {1}{24}}\\\sigma _{3}(0)&={\frac {1}{240}}\\\sigma _{5}(0)&=-{\frac {1}{504}}.\end{aligned}}$

Då gäller exempelvis

$\sum _{k=0}^{n}\sigma (k)\sigma (n-k)={\frac {5}{12}}\sigma _{3}(n)-{\frac {1}{2}}n\sigma (n).$

Andra identiteter av denna typ, dock inte direkt relaterade till relationerna ovan mellan funktionerna L, M och N, har bevisats av Ramanujan och Melfi, exempelvis

$\sum _{k=0}^{n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k)={\frac {1}{120}}\sigma _{7}(n)$

$\sum _{k=0}^{n}\sigma (2k+1)\sigma _{3}(n-k)={\frac {1}{240}}\sigma _{5}(2n+1)$

$\sum _{k=0}^{n}\sigma (3k+1)\sigma (3n-3k+1)={\frac {1}{9}}\sigma _{3}(3n+2).$

Se även

• Reell analytisk Eisensteinserie
• Klingens Eisensteinserie
• Siegels Eisensteinserie

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Eisenstein series, 25 juni 2014.

• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
• Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), America Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7 (See chapter 3)
• Serre, Jean-Pierre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.