Nästan analytisk modulär form

Inom matematiken är en nästan analytiska modulära former en generalisering av modulära former som är polynom i 1/Im(τ) med koefficienter som är analytiska funktioner av τ. En kvasimodulär form är den analytiska delen av en nästan analytisk modulär form. En nästan analytisk modulär form karakteriseras av dess analytiska del, så operatorn av att ta den analytiska delen ger en isomorfi mellan rumment av nästan analytiska modulära former och rummet av kvasimodulära former. Bland de enklaste exemplen av kvasimodulära former är Eisensteinserien E₂(τ) (den analytiska delen av den nästan analytiska modulära formen E₂(τ) – 3/πIm(τ)) och derivator av modulära former.

Definition

För att förenkla beteckningen definieras enbart fallet med vikt 1; utvidgningen till högre nivåer är enkel.

En nästan analytisk modulär form av nivå 1 är en funktion f i övre planhalvan med följande egenskaper:

• f transformerar likt en modulär form: $f((a\tau +b)/(c\tau +d))=(c\tau +d)^{k}f(\tau )$ för något heltal k känt som vikten, för alla element av SL₂(Z).
• Som en funktion av q=e^2πiτ är f ett polynom i 1/Im(τ) med koefficienter som är analytiska funktioner av q.

En kvasimodulär form av nivå 1 definieras som den konstanta termen av en nästan analytisk modulär form (betraktad som ett polynom i 1/Im(τ)).

Struktur

Ringen av nästan analytiska modulära former av nivå 1 är en polynomring över komplexa talen med de tre generatorerna $E_{2}(\tau )-3/\pi \Im (\tau ),E_{4}(\tau ),E_{6}(\tau )$. Analogt är ringen av kvasimodulära former av nivå 1 en polynomring över komplexa talen med de tre genertorerna $E_{2}(\tau ),E_{4}(\tau ),E_{6}(\tau )$.

Derivator

Srinivasa Ramanujan observerade att derivatan av en kvasimodulär form är en annan kvasimodulär from. Exempelvis är

${\begin{aligned}{\frac {dE_{2}}{d\tau }}&={\frac {E_{2}^{2}-E_{4}}{12}}\\[6pt]{\frac {dE_{4}}{d\tau }}&={\frac {E_{2}E_{4}-E_{6}}{3}}\\[6pt]{\frac {dE_{6}}{d\tau }}&={\frac {E_{2}E_{6}-E_{4}^{2}}{2}}\end{aligned}}.$

Emedan kroppen av genererad av kvasimodulära former av någon nivå har transcendensgrad 3 över C betyder detta att en godtycklig kvasimodulär form satisfierar någon olinjär differentialekvation av ordning  3.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Almost holomorphic modular form, 25 juni 2014.

• Zagier, Don (2008), ”Elliptic modular forms and their applications”, i Ranestad, Kristian, The 1-2-3 of modular forms. Lectures at a summer school in Nordfjordeid, Norway, June 2004, Universitext, with Bruinier, Jan Hendrik; van der Geer, Gerard; Harder, Günter, Berlin: Springer-Verlag, s. 1–103, doi:10.1007/978-3-540-74119-0, ISBN 978-3-540-74117-6