Weierstrass elliptiska funktion

Inom matematiken är Weierstrass elliptiska funktion en elliptisk funktion uppkallad efter Karl Weierstrass. Funktionen betecknas vanligen med .

Symbolen för Weierstrass P-funktion

Symbolen för Weierstrass -funktion

Modell av Weierstrass -funktion

DefinitionRedigera

 
Weierstrass P-funktion definierad över en delmängd av det komplexa planet. Vit motsvarar en pol, svart ett nollställe och maximal färgmättnad betyder att  

Weierstrass elliptiska funktion på tre nära relaterade sätt. Den första är en funktion av en komplex variabel z och ett gitter Λ i övre planhalvan. En annan definition är med hjälp av z och två komplexa tal ω1 och ω2 som genererar och utgör ett periodpar för gittret. Den tredje definitionen är med hjälp av z och ett komplext tal τ i övre planhalvan. Den här är relaterad till den förra definitionen enligt τ = ω21. Då bildar Weierstrass funktion för fixerat z en modulär funktion av τ.

Med hjälp av perioderna är Weierstrass elliptiska funktion en elliptisk funktion med perioder ω1 och ω2 definierad som

 

Då är   punkterna vid periodgittret, så att

 

för ett godtyckligt par av generatorer av gittret definierar Weierstrass  -funktion en funktion av en komplex variabel och ett gitter.

Om   är ett komplext tal i övre planhalvan är

 

Summan ovan är homogen av grad minus två, från vilket vi kan definiera  -funktion för ett godtyckligt periodpar som

 

Weierstrass  -funktion kan beräknas väldigt snabbt med hjälp av thetafunktioner enligt formeln

 

InvarianternaRedigera

 
Reella delen av invarianten g3 som en funktion av q i enhetsdisken.
 
Imaginära delen av invarianten g3 som en funktion av q i enhetsdisken.

I en omgivning av origo är Laurentserien av  

 

där

 
 

Talen g2 och g3 är kända som invarianterna. Summorna efter koefficienterna 60 och 140 är de två första Eisensteinserierna, som är modulära former då de betraktas som funktioner G4(τ) respektive G6(τ)) av τ = ω21 med Im(τ) > 0.

Notera att g2 och g3 är homogena funktioner av grader −4 och −6; i andra ord,

 
 

Därför skrivs vanligen   och   med hjälp av periodkvotet   där   antas vara i övre planhalvan som   och  .

Fourierserien av   and   kan skrivas med hjälp av variabeln   som

 
 

där   är sigmafunktionen. Denna formel kan skrivas med hjälp av Lambertserier.

Invarianterna kan skrivas med hjälp av Jacobis thetafunktioner. Denna metod är väldigt användbar för numeriska räkningar emedan thetafunktionernas serier konvergerar väldigt snabbt. I beteckningen av Abramowitz och Stegun, men genom att beteckna de primitiva halvperioderna med  , satisfierar invarianterna

 
 

där

 
 
 

och   är periodkvotet,   och   och   är alternativa beteckningar.

DifferentialekvationRedigera

Weierstrass funktion satisfierar följande differentialekvation:

 

IntegralekvationRedigera

Weierstrass elliptiska funktion kan ges som inversen av en elliptisk integral. Låt

 

där g2 och g3 ses som konstanter. Då är

 

Detta följer direkt genom att integrera differentialekvationen.

Konstanterna e1, e2 och e3Redigera

Betrakta tredjegradsekvationen 4t3g2tg3 = 0 med rötterna e1, e2 och e3. Dess diskriminant är 16 gånger den modulära diskriminanten Δ = g23 − 27g32. Om den inte är noll är alla dessa rötter skilda. Eftersom den kvadratiska termen av detta kubiska polynom är noll är rötterna relaterade enligt ekvationen

 

De linjära och konstanta koefficienterna (g2 och g3) är relatrede till rötterna enligt ekvationerna (se elementära symmetriska polynom).[1]

 
 

Rötterna e1, e2 och e3 av ekvationen   beror på τ och kan skrivas med hjälp av Jacobis thetafunktioner.Som tidigare, låt

 
 
 

då är

 
 
 

Eftersom   och   kan även dessa skrivas med hjälp av thetafunktioner. I förenklad form är

 
 
 

I fallet av reella invarianter bestämmer tecknet av Δ = g23 − 27g32 naturen av rötterna. Om   är alla tre rötterna reella och det är konventionellt att namge dem så att  . Om   är det konventionellt att skriva   (där  ,  ), av vilket   följer, och   är rellt och icke-negativt.

Halvperioderna ω1/2 and ω2/2 av Weierstrass elliptiska funktion är relaterade till rötterna enligt

 

där  . Eftersom kvadraten av derivatan av Weierstrass elliptiska funktion är lika med den kubiska funktionen ovan av funktionens värde är   för  . Om igen funktionens värde är lika med en rot av polynomet är derivatan lika med noll.

Om g2 och g3 är reella och Δ > 0 är ei alla reella, och   är rell vid randen av rektangeln med hörnen 0, ω3, ω1 + ω3 och ω1. Om rötterna ordnas såsom ovan (e1 > e2 > e3) är första halvperioden reell:

 

emedan den tredje halvperioden är rent imginär:

 

AdditionformlerRedigera

Weierstrass elliptiska funktion satisfierar flera intressanta identiteter:

 

(en symmetrik version är

 

där u + v + w = 0).

Den satisfierar även

 

och

 

bara 2z inte är en period.

KällorRedigera

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Weierstrass's elliptic functions, 11 februari 2014.
  1. ^ Abramowitz and Stegun, p. 629

Externa länkarRedigera